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已知:矩形ABCD中,AB=1,点M在对角线AC上,直线l过点M且与AC垂直,与AD相交于点E.
(1)如果直线l与边BC相交于点H(如图1)AM=AC且AD=a,求的AE长(用含a的代数式表示);
(2)在(1)中,直线l把矩形分成两部分的面积比为2:5,求a的值;
(3)若AM=AC,且直线l经过点B(如图2),求AD的长;
(4)如果直线l分别与边AD,AB相交于点E,F,AM=AC,设AD的长为x,△AEF的面积为y,求y与x的函数关系式,并指出x的取值范围(求x的取值范围可不写过程).
【答案】分析:(1)可先用勾股定理求出AC的长,然后根据相似三角形AME和ADC得出的关于AE,AC,AM,AD的比例关系式求出AE的长;
(2)由于梯形AEHB和梯形EDCH的高相等,因此它们的面积比就是两底和的比.可根据相似三角形AME和CMH得出AE,CH的比例关系,然后用AE表示出CH,BH,进而可根据面积比为2:5得出关于a的方程,即可求出a的值;
(3)可先设AE的长为x,那么可在相似三角形AEM和CMB中得出AE,BC的比例关系,然后用x表示出BC即AD的长,在相似三角形AEM和ACD中,根据AE,AC,AM,AD的比例关系式求出x的值,进而可求出AD的长;
(4)求三角形AEF的面积需要求出AE,AF的长,可在相似三角形AEM和ACD中,根据得出的关于AE,AC,AM,AD的比例关系式求出AE的表达式,同理可通过相似三角形AMF和ABC求出AF的表达式,然后根据三角形的面积公式即可得出y,x的函数关系式.根据(3)中求出的AE,AD的长,要想使直线l与AB,AD有交点,那么x的取值范围就应该是≤x≤
解答:解:
(1)在直角三角形ACD中,根据勾股定理有:AC2=AD2+DC2=a2+1
∵∠AME=∠D=90°,∠EAM=∠CAD
∴△AME∽△ADC,

∴AE=
∵AM=AC,
∴AE=

(2)∵AE∥BC,
∴△AEM∽△CHM,


=,即CH=2AE=
∴BH=a-CH=
=
∴a2=,即a=

(3)设AE=x,
∵AE∥BC,
=
=,即=
=
设AE=x,则BC=3x,AC=
∵△AME∽△ADC,

由于AM=AC,AD=BC,
∴x•3x=(1+9x2),
∴x=
∴AD=BC=3x=

(4)由题意可知:
∵△AEM∽△ACD
=,∴AE=
同理可得出=
∴AF=
则S△AEF=AE•AF=≤x≤).
点评:本题主要考查了矩形的性质和相似三角形的判定及性质等知识点,根据相似三角形得出的相关线段成比例来求线段的长是解题的关键.
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1
3
AC且AD=a,求的AE长(用含a的代数式表示);
(2)在(1)中,直线l把矩形分成两部分的面积比为2:5,求a的值;
(3)若AM=
1
4
AC,且直线l经过点B(如图2),求AD的长;
(4)如果直线l分别与边AD,AB相交于点E,F,AM=
1
4
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