Question

7．如图，△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，点B、C、D在一条直线上，点M是AE的中点，给出下列结论：
①BM=BC；②BM⊥DM；③tan∠AEC=$\frac{CD}{BC}$；④S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．
其中正确的结论有②④．（填写正确结论序号）

Answer 1

分析 ①②通过作辅助线MN，构建直角梯形的中位线，根据梯形的中位线定理及等腰直角三角形的判定定理解答．③根据等腰直角三角形的性质及△ABC∽△CDE的对应边成比例知，$\frac{AC}{EC}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BC}{CD}$；然后由直角三角形中的正切函数，得tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$，再由等量代换求得tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$；④由三角形的面积公式、梯形的面积公式及不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）解答．

解答 解：∵△ABC和△CDE均为等腰直角三角形，
∴AB=BC，CD=DE，
∴∠BAC=∠BCA=∠DCE=∠DEC=45°，
∴∠ACE=90°，
∵△ABC∽△CDE，
∴$\frac{AC}{EC}$=$\frac{AB}{ED}$=$\frac{BC}{CD}$，
①过点M作MN垂直于BD，垂足为N．
∵点M是AE的中点，
则MN为梯形中位线，
∴N为中点，
∴△BMD为等腰三角形，
∴BM=DM≠BC．
故本选项错误；
②又MN=$\frac{1}{2}$（AB+ED）=$\frac{1}{2}$（BC+CD），
∴∠BMD=90°，
即BM⊥DM．
故本选项正确；
③∴tan∠AEC=$\frac{AC}{EC}$，
∴tan∠AEC=$\frac{BC}{CD}$．
故本选项错误；
④∵S_△ABC=$\frac{1}{2}$a²，S_△CDE=$\frac{1}{2}$b²，S_梯形ABDE=$\frac{1}{2}$（a+b）²，
∴S_△ACE=S_梯形ABDE-S_△ABC-S_△CDE=ab，
S_△ABC+S_△CDE=$\frac{1}{2}$（a²+b²）≥ab（a=b时取等号），
∴S_△ABC+S_△CDE≥S_△ACE．
故本选项正确．
故答案为：②④．

点评 本题综合考查了等腰直角三角形的判定与性质、梯形的中位线定理、锐角三角函数的定义等知识点．熟悉锐角三角函数的定义，相似三角形的判定与性质，特别是不等式的基本性质a²+b²≥2ab（a=b时取等号）是解决问题的关键．