Question

如图，以Rt△ABO的直角顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OB所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA=4，OB=3，一动点P从O出发沿OA方向，以每秒1个
单位长度的速度向A点匀速运动，到达A点后立即以原速沿AO返回；点Q从A点出发
沿AB以每秒1个单位长度的速度向点B匀速运动．当Q到达B时，P、Q两点同时停止
运动,设P、Q运动的时间为t秒(t＞0)．

(1) 试求出△APQ的面积S与运动时间t之间的函数关系式；
(2) 在某一时刻将△APQ沿着PQ翻折，使得点A恰好落在AB边的点D处，如图①．
求出此时△APQ的面积．
(3) 在点P从O向A运动的过程中，在y轴上是否存在着点E使得四边形PQBE为等腰梯
形？若存在，求出点E的坐标；若不存在，请说明理由．
(4) 伴随着P、Q两点的运动，线段PQ的垂直平分线DF交PQ于点D，交折线QB－BO－OP于点F． 当DF经过原点O时，请直接写出t的值．

Answer 1

略

解：(1)在Rt△AOB中，OA＝4，OB＝3
∴AB＝
①P由O向A运动时，OP＝AQ＝t，AP＝4－t
过Q作QH⊥AP于H点，由QH//BO得

∴
即     (0<t≤4)
②当4<t≤5时，AP＝t－4  AQ=t
sin∠BAO=
OH=
∴
=··············(4分)
(2)由题意知，此时△APQ≌△DPQ
∠AQP＝900  ∴cosA=
当0<t≤4  ∴   即
当4<t≤5时，   t=－16(舍去)
∴···············(6分)
(3)存在，有以下两种情况
①若PE//BQ，则等腰梯形PQBE中PQ=BE
过E、P分分别作EM⊥AB于M,PN⊥AB于N
则有BM=QN,由PE//BQ得
∴
又∵AP=4－t, ∴AN=
∴由BM=QN,得
∴　　　∴···································(8分)
②若PQ//BE，则等腰梯形PQBE中
BQ=EP且PQ⊥OA于P点
由题意知
∵OP+AP="OA " ∴
∴t··············(10分)
由①②得E点坐标为
(4)①当P由O向A运动时，OQ=OP=AQ=t
可得∠QOA=∠QAO  ∴∠QOB=∠QBO
∴OQ="BQ=t       " ∴BQ=AQ=AE
∴······················(11分)
②当P由A向O运动时，OQ=OP=8－t
BQ=5－t, 
在Rt△OGQ中，OQ2 =" RG2" + OG2
即(8－t)2 =
∴t = 5·························(12分)