Question

7．如图，已知双曲线y=$\frac{k}{x}$，经过点D（6，1），点C是双曲线第三象限上的动点，过C作CA⊥x轴，过D作DB⊥y轴，垂足分别为A，B，连接AB，BC．
（1）求k的值；
（2）若△BCD的面积为12，求直线CD的解析式y₁；
（3）根据图象直接写出y≥y₁时，x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）把点D的坐标代入双曲线解析式，进行计算即可得解；
（2）先根据点D的坐标求出BD的长度，再根据三角形的面积公式求出点C到BD的距离，然后求出点C的纵坐标，再代入反比例函数解析式求出点C的坐标，然后利用待定系数法求一次函数解析式解答；
（3）根据函数图象即可得到结论．

解答 解：（1）∵y=$\frac{k}{x}$，经过点D（6，1），
∴$\frac{k}{6}$=1，
∴k=6；
（2）∵点D（6，1），
∴BD=6，
设△BCD边BD上的高为h，
∵△BCD的面积为12，
∴$\frac{1}{2}$BD•h=12，即$\frac{1}{2}$×6h=12，解得h=4，
∴CA=3，
∴$\frac{6}{x}$=-3，解得x=-2，
∴点C（-2，-3），
设直线CD的解析式为y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-2k+b=-3}\\{6k+b=1}\end{array}\right.$，
得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{2}}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
所以，直线CD的解析式为y=$\frac{1}{2}$x-2，
（3）∵点D（6，1），点C（-2，-3），
∴当y≥y₁时，x的取值范围为：x≤-2，0＜x≤6．

点评 本题是对反比例函数的综合考查，主要利用了待定系数法求函数解析式，三角形的面积的求解，待定系数法是求函数解析式最常用的方法，一定要熟练掌握并灵活运用．