Question

4．在⊙O中，半径OA、OB互相垂直，点C为弧$\widehat{AB}$上一点（不与A、B重合），CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分别为D、E．点G、H分别在CE、CD上，且CG=$\frac{1}{3}$CE，CH=$\frac{1}{3}$CD，当C点在弧$\widehat{AB}$上运动时，GH的长度（　　）

• A． 逐渐变大
• B． 逐渐变小
• C． 不变
• D． 不能确定

Answer 1

分析 连接OC、DE，四边形CDOE是矩形，得出DE=OC，证出GH∥DE，得出△CGH∽△CED，得出$\frac{GH}{DE}=\frac{CG}{CE}$=$\frac{1}{3}$，即可得出结论．

解答 解：连接OC、DE，如图所示：
∵半径OA、OB互相垂直，CD⊥OA，CE⊥OB，
∴四边形CDOE是矩形，
∴DE=OC，
∵CG=$\frac{1}{3}$CE，CH=$\frac{1}{3}$CD，
∴$\frac{CG}{CE}=\frac{CH}{CD}$=$\frac{1}{3}$，
∴GH∥DE，
∴△CGH∽△CED，
∴$\frac{GH}{DE}=\frac{CG}{CE}$=$\frac{1}{3}$，
∴GH=$\frac{1}{3}$DE=$\frac{1}{3}$OC，
∵OC是半径，
∴GH的长度是定值；
故选：C．

点评 本题考查了相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质、平行线的判定；熟练掌握相似三角形的判定与性质，证明四边形是矩形得出DE=OC是解决问题的关键．