Question

6．如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AC=BC=12，D为边BC上一点，CD=4，K为直线BC上一点，∠DAK=45°，则CK的长为24或6．

Answer 1

分析 此题分两种情况，如图1，过点D作DE⊥AB于E，通过△ACK∽△AED，得到结果，如图2，过D作DE⊥AB于E，过点B作BF⊥AK于F，通过证明△ACD∽△AFB和△ADE∽△KBF，即可得到结果．

解答 解：如图1，过点D作DE⊥AB于E，
∵AC=BC=12，∠ACB=90°，
∴AB=12$\sqrt{2}$，∠B=∠BAC=45°，
∴BE=DE，∵CD=4，∴BD=8，
∴BE=DE=4$\sqrt{2}$，
∴AE=8$\sqrt{2}$，
∵∠KAD=45°，
∴∠KAC=∠BAD，
∵∠ACK=∠ACB=90°，
∴△ACK∽△AED，
∴$\frac{AC}{AE}$=$\frac{CK}{DE}$，即$\frac{12}{8\sqrt{2}}$=$\frac{CK}{4\sqrt{2}}$，
∴CK=8；
如图2，过D作DE⊥AB于E，过点B作BF⊥AK于F，
∵AD=$\sqrt{{AC}^{2}{+CD}^{2}}$=4$\sqrt{10}$，
∵∠CAB=∠DAK=45°，
∴∠CAD=∠BAK，
∴△ACD∽△AFB，
∴$\frac{AD}{AB}$=$\frac{CD}{BF}$，
∴$\frac{4\sqrt{10}}{12\sqrt{2}}$=$\frac{4}{BF}$，
∴$BF=\frac{12\sqrt{5}}{5}$，
∵∠K+∠BAF=∠BAF+∠DAB=45°，
∴∠K=∠DAB，
∴△ADE∽△KBF，
∴$\frac{AD}{BK}$=$\frac{DE}{BF}$，
∴$\frac{4\sqrt{10}}{BK}$=$\frac{4\sqrt{2}}{\frac{12\sqrt{5}}{5}}$，
∴BK=12，
∴CK=BC+BK=24．
故答案为：6或24．

点评 本题考查了等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理，正确的作出辅助线构造相似三角形是解题的关键．