【题目】问题探究
(1)如图1,△ABC和△DEC均为等腰直角三角形,且∠BAC=∠CDE=90°,AB=AC=3,DE=CD=1,连接AD、BE,求的值;
(2)如图2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,过点A作AM⊥AB,点P是射线AM上一动点,连接CP,做CQ⊥CP交线段AB于点Q,连接PQ,求PQ的最小值;
(3)李师傅准备加工一个四边形零件,如图3,这个零件的示意图为四边形ABCD,要求BC=4cm,∠BAD=135°,∠ADC=90°,AD=CD,请你帮李师傅求出这个零件的对角线BD的最大值。
图3
【答案】(1);(2);(3)+.
【解析】
(1)由等腰直角三角形的性质可得BC=3,CE=,∠ACB=∠DCE=45°,可证△ACD∽△BCE,可得=;
(2)由题意可证点A,点Q,点C,点P四点共圆,可得∠QAC=∠QPC,可证△ABC∽△PQC,可得,可得当QC⊥AB时,PQ的值最小,即可求PQ的最小值;
(3)作∠DCE=∠ACB,交射线DA于点E,取CE中点F,连接AC,BE,DF,BF,由题意可证△ABC∽△DEC,可得,且∠BCE=∠ACD,可证△BCE∽△ACD,可得∠BEC=∠ADC=90°,由勾股定理可求CE,DF,BF的长,由三角形三边关系可求BD的最大值.
(1)∵∠BAC=∠CDE=90°,AB=AC=3,DE=CD=1,
∴BC=3,CE=,∠ACB=∠DCE=45°,
∴∠BCE=∠ACD,
∵==,=,
∴=,∠BCE=∠ACD,
∴△ACD∽△BCE,
∴=;
(2)∵∠ACB=90°,∠B=30°,BC=4,
∴AC=,AB=2AC=,
∵∠QAP=∠QCP=90°,
∴点A,点Q,点C,点P四点共圆,
∴∠QAC=∠QPC,且∠ACB=∠QCP=90°,
∴△ABC∽△PQC,
∴,
∴PQ=×QC=QC,
∴当QC的长度最小时,PQ的长度最小,
即当QC⊥AB时,PQ的值最小,
此时QC=2,PQ的最小值为;
(3)如图,作∠DCE=∠ACB,交射线DA于点E,取CE中点F,连接AC,BE,DF,BF,
,
∵∠ADC=90°,AD=CD,
∴∠CAD=45°,∠BAC=∠BAD-∠CAD=90°,
∴△ABC∽△DEC,
∴,
∵∠DCE=∠ACB,
∴∠BCE=∠ACD,
∴△BCE∽△ACD,
∴∠BEC=∠ADC=90°,
∴CE=BC=2,
∵点F是EC中点,
∴DF=EF=CE=,
∴BF==,
∴BD≤DF+BF=+
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,已知抛物线经过原点O,顶点为A(1,1),且与直线y=x﹣2交于B,C两点.
(1)求抛物线的解析式及点C的坐标;
(2)求证:△ABC是直角三角形;
(3)若点N为x轴上的一个动点,过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M,则是否存在以O,M,N为顶点的三角形与△ABC相似?若存在,请求出点N的坐标;若不存在,请说明理由.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图:一辆汽车在一个十字路口遇到红灯刹车停下,汽车里的驾驶员看地面的斑马线前后两端的视角分别是∠DCA=30°和∠DCB=60°,如果斑马线的宽度是AB=3米,驾驶员与车头的距离是0.8米,这时汽车车头与斑马线的距离x是多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线经过点,.
求该抛物线的函数表达式及对称轴;
设点B关于原点的对称点为C,点D是抛物线对称轴上一动点,记抛物线在A,B之间的部分为图象包含A,B两点,如果直线CD与图象G有两个公共点,结合函数的图象,直接写出点D纵坐标t的取值范围.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】“千年古都,大美西安”。某校数学兴趣小组就“最想去的西安旅游景点”随机调查了本校部分学生,要求每位同学选择且只能选择一个最想去的景点,(景点对应的名称分别是:A:大雁塔 B:兵马俑 C:陕西历史博物馆 D:秦岭野生动物园 E:曲江海洋馆)。下面是根据调查结果进行数据整理后绘制出的不完整的统计图:
请根据图中提供的信息,解答下列问题:
(1)求被调查的学生总人数;
(2)补全条形统计图,并求扇形统计图中表示“最想去景点D”的扇形圆心角的度数;
(3)若该校共有800名学生,请估计“最想去景点B”的学生人数。
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,在Rt△ABC中,∠BAC=90°
(1)先作∠ACB的平分线交AB边于点P,再以点P为圆心,PA长为半径作⊙P;(要求:尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)请你判断(1)中BC与⊙P的位置关系,并证明你的结论.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】如图,有一形状为直角三角形的空地ABC,,,,现要作一条垂直于斜边AB的小道点E在斜边上,点F在直角边上设,的面积为y.
求y与x的函数关系式写出自变量x的取值范围;
当x为何值时y有最大值?并求出最大值.
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】(问题背景)在△ABC内部,有地点,可构成3个不重叠的小三角形(如图1)
(探究发现)当△ABC内的点的个数增加时,若其他条件不变,探究三角形内互不重叠的小三角形的个数情况。
(1)填表:
三角形内点的个数n | 1 | 2 | 3 | 4 | …… |
不重叠三角形个数S | …… |
(2)当△ABC内部有2019个点(,……)时,三角形内不重叠的小三角形的个数S为多少?
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:
【题目】已知关于x的方程x2-(a+b)x+ab-1=0,x1、x2是此方程的两个实数根,现给出三个结论:①x1≠x2;②x1x2<ab;③+<a2+b2.则正确结论的序号是______.(填上你认为正确的所有序号)
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com