Question

【题目】如图，长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，在边CD上取一点E，将△ADE折叠后点D恰好落在BC边上的点F处

（1）求CE的长；

（2）在（1）的条件下，BC边上是否存在一点P，使得PA+PE值最小？若存在，请求出最小值：若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】（1）3；（2）存在，．

【解析】

（1）先判断出AF=AD=8，进而利用勾股定理求出BF=6，最后在Rt△ECF，利用勾股定理，即可得出结论；

（2）先作出点E关于BC的对称点E，进而求出DE'，再利用勾股定理即可得出结论．

解：（1）长方形ABCD中，AB＝8，BC＝10，

∴∠B＝∠BCD＝90°，CD＝AB＝8，AD＝BC＝10，

由折叠知，EF＝DE，AF＝AD＝8，

在Rt△ABF中，根据勾股定理得，BF＝＝6，

∴CF＝BC﹣BF＝4，

设CE＝x，则EF＝DE＝CD﹣CE＝8﹣x，

在Rt△ECF中，根据勾股定理得，CF2+CE2＝EF2，

∴16+x2＝（8﹣x）2，

∴x＝3，

∴CE＝3；

（2）如图，延长EC至E'使CE'＝CE＝3，连接AE'交BC于P，

此时，PA+PE最小，最小值为AE'，

∵CD＝8，

∴DE'＝CD+CE'＝8+3＝11，

在Rt△ADE'中，根据勾股定理得，AE'＝＝．