Question

已知：如图所示，AD是△ABC的中线，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F且BE=CF．
求证：（1）AD是∠BAC的平分线；（2）AB=AC．

Answer 1

证明：（1）AD是△ABC的中线（已知），
∴BD=CD．
在Rt△EBD和Rt△FCD中，
∴Rt△EBD≌Rt△FCD（HL）．
∴DE=DF（全等三角形的对应边相等），
即AD是∠BAC的平分线．

（2）在Rt△AED和Rt△AFD中，，
∴Rt△AED≌Rt△AFD（HL），
∴AE=AF（全等三角形的对应边相等）．
又∵BE=CF（已知），
∴AB=AC．
分析：（1）要证AD平分∠BAC，只需证明△ABD≌△ACD即可．
（2）由1可证得Rt△AED≌Rt△AFD，然后推出BE=CF可得AB=AC．
点评：本题考查了全等三角形的判定和性质；三角形全等的判定是中考的热点，一般以考查三角形全等的方法为主，判定两个三角形全等，先根据已知条件或求证的结论确定三角形，然后再根据三角形全等的判定方法，看缺什么条件，再去证什么条件．