Question

7．已知⊙O为△DEF的内切圆，切点分别为A、B、C，$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$
（1）如图1，求证：BE=BF；
（2）如图2，若tan∠ABC=$\frac{4}{3}$，求sin∠EDF的值．

Answer 1

分析 （1）根据$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，得到AB=BC，根据弦切角定理求出∠EAB=∠EBA=∠FCB=∠FBC，证明△AEB≌△CFB，得到答案；
（2）连接AC，作DG⊥AC于G，AH⊥DF于H，证明∠DAG=∠ABC，表示出AD、CD、AH的长，得到答案．

解答 解（1）如图2，连接AC，
∵$\widehat{AB}$=$\widehat{BC}$，
∴AB=BC，∠EAB=∠EBA=∠FCB=∠FBC，
∴△AEB≌△CFB，
∴BE=BF；

（2）如图2，连接AC，作DG⊥AC于G，AH⊥DF于H，
∵DE、DF是⊙O的切线，切点分别为A，C，
∴∠ABC=∠DAC=∠DCA，
∴AD=DC，
∴AG=CG=$\frac{1}{2}$AC，
∴tan∠DAG=tan∠ABC=$\frac{DG}{AG}$=$\frac{4}{3}$，
设DG=4k，则AG=3k，
∴AC=2AG=6k，AD=CD=5k，$\frac{1}{2}$×AC×DG=$\frac{1}{2}$×CD×AH，
∴AH=$\frac{24}{5}$k，
∴sin∠EDF=$\frac{AH}{AD}$=$\frac{24}{25}$．

点评 本题考查了三角形的内切圆的知识，掌握弦切角定理、切线长定理和锐角三角函数的概念是解题的关键．