Question

【题目】如图，在中，，，点是边上（不与，重合）一动点，，交于点．

（1）求证：；

（2）若为直角三角形，求．

（3）若以为直径的圆与边相切，求．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）或；（3）

【解析】

（1）证明∠ADB=∠DEC，即可得出结论；
（2）过点A作AG⊥BC于G，分两种情况讨论，当∠AED=90°时，当∠CDE=90°时通过三角形相似即可求得；
（3）取AE的中点O，过O作OF⊥BC于F，设BD=，AE=，可分别表示OA和OC，由OF∥AG，得出，得出关于的方程，解出即可求出DG长，则AD长可求出．

（1）∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∵∠ADE=∠B，
∴∠ADE=∠C，
∵∠ADB=180°-∠ADE-∠CDE，∠DEC=180°-∠C-∠CDE，
∴∠ADB=∠DEC，
∵∠B=∠C，
∴△ABD∽△DCE；
（2）如图1，过点A作AG⊥BC于G，

∴CG=BC=8，
∴，
设∠ADE=∠B=∠C=α
∴cosα=，
当∠AED=90°时，
∵∠ADE=∠C，∠DAE=∠CAD，
∴△ADE∽△ACD，
∵∠AED=90°，
∴∠ADC=90°，
即AD⊥BC，
∵AB=AC，
∴BD=CD，
∴BD=8；
当∠CDE=90°时，由（1）知△CDE∽△BAD，
∵∠CDE=90°，
∴∠BAD=90°，
∵cosα=，AB=10，
∴cosB=，
∴BD=；
即：BD=8或．
（3）如图2，取AE的中点O，过O作OF⊥BC于F，

设BD=，AE=，
∴，，
由（1）知，△ABD∽△DCE，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵以AE为直径的圆与边BC相切，
∴，

∵AG⊥BC，OF⊥BC，
∴OF∥AG，
∴，
∴，
∴6[]=10[]，
∴或，
∴，
在Rt△AGD中，根据勾股定理得，

．