Question

已知，边长为a（cm）的正方形ABCD，现有∠MDN=45°，其两边分别与CB、AB交与点M、N，连接MN，将∠MDN绕着顶点D旋转且使得M、N始终在边CB和边AB上，试判断在这一过程中，△BMN的周长是否发生变化，若没有变化，请求出其周长；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,正方形的性质,旋转的性质

专题：计算题

分析：在这一过程中，△BMN的周长不发生变化，理由为：延长BC到E使CE=AN，连接DE，由四边形ABCD为正方形，得到一对边相等，一对角为直角，利用SAS得到三角形DCE与三角形DAN全等，利用全等三角形对应边相等得到DA=DN，∠CDE=∠ADN，根据∠MDN=45°，利用等式的性质得到夹角相等，利用SAS得到三角形EMD与三角形NMD全等，利用全等三角形的对应边相等得到ME=MN，再利用等式的性质变形即可得到三角形BMN周长为定值2a．

解答：解：在这一过程中，△BMN的周长不发生变化，
证明：延长BC到E使CE=AN，连接DE，
∵ABCD为正方形，
∴DC=DA，∠A=∠BCD=90°，
在△DCE和△DAN中，

EC=NA ∠DCE=∠DAN=90° CD=DA

，
∴△DCE≌△DAN（SAS），
∴DA=DN，∠CDE=∠ADN，
∵∠MDN=45°，
∴∠ADN+∠CDM=∠CDE+∠CDM=∠MDE=45°=∠MDN，
在△EDM和△NDM中，

DE=DN ∠EDM=∠NDM DM=DM

，
∴△EDM≌△NDM（SAS），
∴ME=MN，即ME=CE+CM=AN+CM=MN，
则△BMN的周长l=BM+MN+BN=BM+（CM+AN）+BN=BC+AB=2a．

点评：此题考查了全等三角形的判定与性质，正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键．