Question

如图所示，在平面直角坐标系xOy中，正方形PABC的边长为1，将其沿x轴的正方向连续滚动，即先以顶点A为旋转中心将正方形PABC顺时针旋转90°得到第二个正方形，再以顶点D为旋转中心将第二个正方形顺时针旋转90°得到第三个正方形，依此方法继续滚动下去得到第四个正方形，…，第n个正方形．设滚动过程中的点P的坐标为（x，y）．

（1）画出第三个和第四个正方形的位置，并直接写出第三个正方形中的点P的坐标；
（2）画出点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4），并直接写出该曲线与x轴所围成区域的面积．

Answer 1

分析：（1）有意义直接画图，再有画的图形可直接写出点P的坐标；
（2）有点P运动的轨迹可知为弧线，只要找到所在的圆心和半径即可，利用扇形的面积公式即可求出该曲线与x轴所围成区域的面积．

解答：解：（1）第三个和第四个正方形的位置如图所示：

第三个正方形中的点P的坐标为：（3，1）；

（2）点P（x，y）运动的曲线（0≤x≤4）如图所示：

由图形可知它与x轴所围成区域的面积=

π

4

+

90π× ( 2 ) 2

360

+1+

π

4

=π+1．

点评：本题考查了图形旋转的性质：旋转前后图形全等和扇形的面积公式：

nπr 2

360

，题目难度不大，不过很新颖．