Question

14．（1）如图①，在?ABCD的形外分别作等腰直角△ABF和等腰直角△ADE，∠FAB=∠EAD=90°，连AC、EF．在图中找一个与△FAE全等的三角形，并加以证明．
（2）如图②，以?ABCD的四条边为边，在其形外分别作正方形，连接EF、GH、IJ、KL．若图中阴影部分四个三角形的面积和为S，则?ABCD的面积为多少？（用含S的代数式表示结果）

Answer 1

分析 （1）由四边形ABCD是平行四边形，易得AD=BC，AD∥BC，即可得∠BAD+∠ABC=180°，又由△ABF和△ADE是等腰直角三角形，可得AE=BC，∠FAE=∠ABC，即可证得△FAE≌△BAC；又由△ABC≌△CDA，可得△FAE≌△CDA；
（2）根据第一问结论，得出△AEF≌△DAC≌△CIJ，△BGH≌△DKL≌△CDB，阴影部分四个三角形的面积和是?ABCD的面积的2倍，据此即可求解．

解答 （1）△FAE≌△BAC或△FAE≌△CDA．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD=BC，AD∥BC，
∴∠BAD+∠ABC=180°，
∵△ABF和△ADE是等腰直角三角形，
∴AF=AB，AE=AD，∠BAF=∠DAE=90°，
∴AE=BC，∠FAE+∠BAD=360°-∠BAF-∠DAE=180°，
∴∠FAE=∠ABC，
在△FAE和△ABC中，
$\left\{\begin{array}{l}{AF=AB}\\{∠FAE=∠ABC}\\{AE=BC}\end{array}\right.$，
∴△FAE≌△ABC（SAS）．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD，AD=BC，
在△ABC和△CDA中，
$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}\\{AC=CA}\\{BC=DA}\end{array}\right.$，
∴△ABC≌△CDA（SSS），
∴△FAE≌△CDA．
（2）与（1）同理，在图形②中，△AEF≌△DAC≌△CIJ，△BGH≌△DKL≌△CDB，
∴四个三角形的面积和为：?ABCD的面积×2=S，
?ABCD的面积=$\frac{1}{2}$S．

点评 本题主要考查了平行四边形的性质，以及全等三角形的判定与性质，正确证明△FAE≌△CDA是解题的关键．