Question

17．在△ABC中，∠A=90°，AB=4，AC=3，M是AB上的动点（不与A，B重合），过M点作MN∥BC交AC于点N．
（1）如图1，把△AMN沿直线MN折叠得到△PMN，设AM=x．
i．若点P正好在边BC上，求x的值；
ii．在M的运动过程中，记△MNP与梯形BCNM重合的面积为y，试求y关于x的函数关系式，并求y的最大值．
（2）如图2，以MN为直径作⊙O，并在⊙O内作内接矩形AMQN．试判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由．

Answer 1

分析 （1）i．根据轴对称的性质，可求得相等的线段与角，可得点M是AB中点，即当x=$\frac{1}{2}$AB=2时，点P恰好落在边BC上；
ii．分两种情况讨论：①当0＜x≤2时，△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，根据轴对称的性质△MNP的面积等于△AMN的面积，易见y=$\frac{3}{8}$x²
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，由i．知ME=MB=4-x∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，由题意知△PEF∽△ABC，利用相似三角形的性质即可求得．
（2）利用分类讨论的思想，先求的直线BC与⊙O相切时，x的值，然后得到相交，相离时x的取值范围．

解答 解：（1）i．如图1，由轴对称性质知：AM=PM，∠AMN=∠PMN，
又MN∥BC，
∴∠PMN=∠BPM，∠AMN=∠B，
∴∠B=∠BPM，
∴AM=PM=BM，
∴点M是AB中点，即当x=$\frac{1}{2}$AB=2时，点P恰好落在边BC上．

ii．以下分两种情况讨论：
①当0＜x≤2时，
∵MN∥BC，
∴△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{AN}{AC}$，
∴$\frac{x}{4}=\frac{AN}{3}$，
∴AN=$\frac{3}{4}x$，
△MNP与梯形BCNM重合的面积为△MNP的面积，
∴y=$\frac{1}{2}$•$\frac{3x}{4}$•x=$\frac{3}{8}$x²
y=$\frac{{3x}^{2}}{8}$，
②当2＜x＜4时，如图2，设PM，PN分别交BC于E，F，
由（2）知ME=MB=4-x，
∴PE=PM-ME=x-（4-x）=2x-4，
由题意知△PEF∽△ABC，
∴${（\frac{PE}{AB}）}^{2}$=$\frac{{S}_{△PEF}}{{S}_{△ABC}}$，
∴S_△PEF=$\frac{3}{2}$（x-2）²，
∴y=S_△PMN-S_△PEF=$\frac{3}{8}$x²-${\frac{3}{2}（x-2）}^{2}$=$-\frac{9}{8}$x²+6x-6，
∴y=$\left\{\begin{array}{l}{\frac{3}{8}{x}^{2}（0＜x≤2）}\\{-\frac{9}{8}{x}^{2}+6x-6（2＜x＜4）}\end{array}\right.$，
∵当0＜x≤2时，y=$\frac{3}{8}$x²，
∴易知y_最大=${\frac{3}{8}×2}^{2}$=$\frac{3}{2}$，
又∵当2＜x＜4时，y=-$\frac{9}{8}$x²+6x-6=$-\frac{9}{8}$（x-$\frac{8}{3}$）²+2，
∴当x=$\frac{8}{3}$时（符合2＜x＜4），y_最大=2，
综上所述，当x=$\frac{8}{3}$时，重叠部分的面积最大，其值为2．

（2））如图3，设直线BC与⊙O相切于点D，连接AO，OD，则AO=OD=$\frac{1}{2}$MN．
在Rt△ABC中，BC=$\sqrt{{AB}^{2}{+AC}^{2}}$=5；
由（1）知△AMN∽△ABC，
∴$\frac{AM}{AB}=\frac{MN}{BC}$，即$\frac{x}{4}=\frac{MN}{5}$，
∴MN=$\frac{5}{4}$x
∴OD=$\frac{5}{8}$x，
过M点作MQ⊥BC于Q，则MQ=OD=$\frac{5}{8}$x，
在Rt△BMQ与Rt△BCA中，∠B是公共角，
∴△BMQ∽△BCA，
∴$\frac{BM}{BC}=\frac{QM}{AC}$，
∴BM=$\frac{BC•QM}{AC}$=$\frac{25}{24}$x，AB=BM+MA=$\frac{25}{24}$x+x=4
∴x=$\frac{96}{49}$，
∴当x=$\frac{96}{49}$时，⊙O与直线BC相切；
当x＜$\frac{96}{49}$时，⊙O与直线BC相离；
x＞$\frac{96}{49}$时，⊙O与直线BC相交．

点评 本题主要考查了折叠问题，相似三角形的性质，注意对应的线段对应的角相等，数形结合思想的应用，分类讨论是解答此题的关键．