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16.如图,弓形ABC中,∠BAC=60°,BC=2$\sqrt{3}$.若点P在优弧BAC上由点B移动到点C,记△PBC的内心为I,点I随点P的移动所经过的路径长为(  )
A.$\frac{2}{3}$πB.$\frac{4}{3}$πC.$\frac{8}{3}$πD.

分析 作辅助线,先确定点I的轨迹是以点D为圆心,以OD为半径的弧CIB长,先求半径OD的长,再根据弧长公式求出弧CIB的长为$\frac{4}{3}$π.

解答 解:如图,将圆补全,过点O作OD⊥BC交⊙O于点D,设I为△PBC的内心连接BI、连接PD、连接BO、连接CO、连接BD、连接CD、连接PB、连接PC,
∵DO⊥BC,
∴BD=CD,∠BPD=∠CPD,
∵∠PBI+∠BPI=∠BID,∠DBC+∠CBI=∠IBD,∠BPD=∠BCD,
∴∠DBI=∠BID,
∴ID=BD,
∵∠BAC=60°,BC=2$\sqrt{3}$,
∴∠BOD=60°,△BDO是等边三角形,
∴BO=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2,∠BDC=120°,
∴BD=BO=ID=2,
∴动点I到定点D的距离为2,即点I随点P的移动所经过的路径长是:以点D为圆心,2为半径的弧CIB,
弧CIB的长为:$\frac{120π×2}{180}$=$\frac{4}{3}$π,
故选B.

点评 此题主要考查了点的轨迹、圆心角、圆周角定理以及三角形内心的性质等知识,本题需仔细分析题意,结合图形,得出I的运动路径即可解决问题.

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