Question

如图，已知在?ABCD中，AE平分∠BAD，交DC于E，DF⊥BC，交AE于G，且DF=AD．
（1）若∠C=60°，AB=2，求EC的长；
（2）求证：CD=DG+FC．

Answer 1

考点：正方形的判定与性质,平行四边形的性质,平移的性质,旋转的性质

专题：

分析：（1）先解直角三角形求得AD=DF=

3

，由AE平分∠BAD，则∠BAE=∠DAE；由AB∥CD，则∠BAE=∠DEA，从而有∠DAE=∠DEA，得出DE=DA，再根据EC=DC-DE即可求得．
（2）将△CDF平移到△ABH的位置，将△ADG顺时针旋转90°到△AHI的位置，证明∠I=∠AGD=∠GAH=∠BAI，即可．

解答：（1）解：∵在?ABCD中，AB=DC=2，∠C=60°，DF⊥BC，
∴DF=DC•sin60°=2×

3

2

=

3

，
∵DF=AD．
∴AD=DF=

3

，
∵AB∥CD AE平分∠BAD，
∴∠DAE=∠BAE=∠AED，
∴AD=DE=

3

∴EC=DC-DE=2-

3

．

（2）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=DC，AD=BC，AB∥DC，AD∥BC，∴∠ABC+∠C=180°
把△DFC沿射线DA方向平移，平移距离为AD，则DC与AB重合，记平移后的三角形为△ABH，则∠AHB=∠DFC=90°，∠ABH=∠C，AH=DF，HB=FC
∵∠ABH+∠ABC=∠C+∠ABC=180°，
∴F，B，H三点共线，
∴BF+HB=BF+FC，
∴FH=BC=AD=DF=AH．
∴四边形AHFD为正方形．
∴∠ADF=90°，AH∥DF．
把△ADG绕点A顺时针旋转90°，则AD与AH重合，
∠DAG=∠HAI，∠DGA=∠HIA，∠AHI=∠ADG=90°，
∴∠AHB+∠AHI=∠AHB+∠ADG=180°，
∴I，H，B三点共线．
∵AE平分∠BAD，
∴∠BAG=∠DAG，
∴∠HAB+∠BAG=∠HAB+∠DAG=∠HAB+∠HAI．
即∠HAG=∠IAB．
∵AH∥DF，
∴∠HAG=∠DGA，
∴∠BIA=∠DGA=∠BAI．
∴AB=IB．
∵IB=IH+HB=DG+FC，
∴CD=AB=DG+FC．

点评：本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判断，用平移，旋转的方法证明问题的能力．