如图(1).AB是⊙O的直径.射线AT⊥AB.点P是射线AT上的一个动点.PC与⊙O相切于C.过C作CE⊥AB于E.连接BC并延长BC交AT于点D.连接PB交CE于F．(1)请你写出PA.PD之间的关系式.并说明理由,(2)请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分.并加以证明,(3)设过A.C.D三点的圆的半径是R.当CF=R时.求∠APC的度数.� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如图（1），AB是⊙O的直径，射线AT⊥AB，点P是射线AT上的一个动点（P与A不重合），PC与⊙O相切于C，过C作CE⊥AB于E，连接BC并延长BC交AT于点D，连接PB交CE于F．
（1）请你写出PA、PD之间的关系式，并说明理由；
（2）请你找出图中有哪些三角形的面积被PB分成两等分，并加以证明；
（3）设过A、C、D三点的圆的半径是R，当CF=

R时，求∠APC的度数，并在图（2）中作出点P．（要求尺规作图，不写作法，但要保留作图痕迹）

【答案】分析：（1）连接AC，由AT，PC为⊙O的两条切线可得PA=PC，∠PAC=∠PCA，由AB为⊙O的直径可得∠ACB=90°，故∠PAC+∠ADC=∠PCA+∠PCD=90°，由此可以得到∠ADC=∠PCD，PC=PD=PA；
（2）由（1）知PD=PA，且同高，可见△ABD被PB分成面积相等的两个三角形；由AT⊥AB，DE⊥AB可得CE∥AT，然后得到

，又PD=PA，所以可得CF=EF，所以△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；
（3）由PA=PD=PC，可知PA为△ACD的外接圆的半径，由（2）知CF=EF，EF=

PA，再根据EF∥AT可得

，从而可得CE=

BE，在Rt△ACE中，可求出∠CAE=30°，又∵AT⊥AB，可得∠PAC=60°，△PAC为等边三角形，所以得到∠APC=60°．
解答：

解：（1）如图，连接AC，
∵AT⊥AB，AB是⊙O的直径
∴AT是⊙O的切线
又PC是⊙O的切线
∴PA=PC
∴∠PAC=∠PCA
∵AB是⊙O的直径
∴∠ACB=90°
∴∠PAC+∠ADC=90°，∠PCA+∠PCD=90°
∴∠ADC=∠PCD
所以PD=PC=PA；

（2）由（1）知PD=PA
∴△ABD被PB分成面积相等的两个三角形
∵AT⊥AB，CE⊥AB
∴AT∥CE
∴CF：PD=BF：BP，EF：PA=BF：BP
所以CF：PD=EF：PA
所以CF=EF
可见△CEB也被PB分成面积相等的两个三角形；

（3）由（1）知PA=PC=PD
∴PA是△ACD的外接圆的半径，即PA=R
由（2）知，CF=EF，而CF=

R
∴EF=

PA
所以

，
∵EF∥AT
∴

∴CE=

BE
在Rt△ACE中
∵tan∠CAE=

∴∠CAE=30°
∴∠PAC=90°-∠CAE=60°
而PA=PC
∴△PAC是等边三角形
∴∠APC=60°
P点的作图方法见图．
点评：本题主要考查切线的性质，相似三角形的判定，三角函数等知识点，在解题时要注意数形结合．题目的难度比较大，综合性比较强．

练习册系列答案

状元100分暑假拔高教材衔接系列答案

暑假作业长春出版社系列答案

智慧鸟快乐衔接辅导专家系列答案

快乐学习报强化训练快乐假期期末复习暑假系列答案

假期生活暑假方圆电子音像出版社系列答案

新课堂假期生活暑假用书系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>

相关习题

科目：初中数学 来源： 题型：

如图，已知直线AB是⊙O的切线，A为切点，OB交⊙O于点C，点D在⊙O上，且∠OBA=40°，则∠ADC=

度．

查看答案和解析>>

科目：初中数学 来源： 题型：

如图（1），AB是半径为R的⊙O的一条弦，点P是⊙O上任意一点（与A、B不重合）若R=2，AB=2

（1）若点P在⊙O优弧AB上，AP、BP分别与以AB为直径的圆交于C、D点
①请利用图（1）求∠APB的度数．
②请利用图（2）求CD的长．
（2）若点P是⊙O劣弧AB上一点，如图（3）AP、BP的延长线分别交以AB为直径的圆于C、D，你还能求出CD的长吗？若能，请求出CD的长；若不能，请说明理由．