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同学们,折纸中也有很大的学问呢.黄老师出示了以下三个问题,小聪、小明、小慧分别在黑板上进行了板演,请你也解答这个问题:
在一张长方形ABCD纸片中,AD=25cm,AB=20cm,现将这张纸片按如下列图示方式折叠,分别求折痕的长.
(1)如图1,折痕为AE;
(2)如图2,P,Q分别为AB,CD的中点,折痕为AE;
(3)如图3,折痕为EF.
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分析:本题的折叠问题由易到难,图(1)(2)都是轴对称的两个三角形,图(3)是轴对称的两个直角梯形,过F作FM⊥BC,FM就与FD对称,将问题转化求解.
解答:精英家教网解:(1)∵由折叠可知△ABE为等腰直角三角形,
∴AE=
2
AB=20
2
cm;

(2)∵由折叠可知,AG=AB,∠GAE=∠BAE,
∵点P为AB的中点
∴AP=
1
2
AB精英家教网
∴AP=
1
2
AG
在Rt△APG中,得∠GAP=60°
∴∠EAB=30°
在Rt△EAB中,AE=
2
3
3
AB=
40
3
3
cm;

(3)解法一:连接BD,交EF于点O,
由勾股定理得:BD=
252+202
=5
41

由折叠可知,折痕EF为BD的垂直平分线精英家教网
∴OD=
1
2
BD=
5
2
41

可证△DOF∽△DAB
FO
AB
=
DO
AD

∴FO=2
41

由对称性可知:EF=2FO=4
41


解法二:过点E作EH⊥AD于点H,连BF,
由折叠可知DE=BE
∵AF=FG,DF=AB,GD=AB
∴△ABF≌△GDF
又∵∠GDF=∠CDE,GD=CD
∴Rt△GDF≌Rt△CDE
∴DF=DE=BE精英家教网
在Rt△DCE中,DC2+CE2=DE2
∵CB=25,CD=20,202+CE2=(25-CE)2
∴CE=4.5,BE=25-4.5=20.5,HF=20.5-4.5=16
在Rt△EHF中
∵EH2+HF2=FE2,202+162=FE2
∴EF=
656
=4
41
cm.
点评:本题考查图形的折叠与拼接,同时考查了三角形、四边形等几何基本知识,解题时应分别对每一个图形进行仔细分析.
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(1)如图1,折痕为DE,点A的对应点F在CD上,则折痕DE的长为
 

(2)如图2,H,G分别为BC,AD的中点,A的对应点F在HG上,折痕为DE,求重叠部分的面积;
(3)如图3,在图2中,把长方形ABCD沿着HG对开,变成两张长方形纸片,将两张纸片任意叠合后,发现重叠部分是一个菱形,显然,这个菱形的周长最短是40cm,求叠合后周长最大的菱形的周长和面积.
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