Question

已知抛物线的顶点P（3，-2）且在x轴上所截得的线段AB的长为4．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）抛物线上是否存在点Q，使△QAB的面积等于12？若存在，求点Q的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）设A在左边，根据抛物线的对称性可得出A的坐标为（1，0），B的坐标为（5，0），从而设出抛物线的两点式，将顶点坐标代入可得出抛物线的解析式；
（2）设出点Q的坐标，表示出△QAB的面积，继而建立方程，求解即可．

解答：解：（1）∵抛物线的顶点P（3，-2），
∴抛物线的对称轴为直线x=3，
又∵在x轴上所截得的线段AB的长为4，设A在左边，
∴点A的坐标为（1，0），点B的坐标为（5，0），
设抛物线的解析式为：y=a（x-1）（x-5），
将点P（3，-2）代入可得：-2=a（3-1）（3-5），
解得：a=

1

2

，
故抛物线的解析式为：y=

1

2

（x-1）（x-5）=

1

2

x²-3x+

5

2

．

（2）设存在点Q的坐标，点Q的坐标为（x，

1

2

x²-3x+

5

2

），
∵△QAB的面积等于12，
∴

1

2

AB×|

1

2

x²-3x+

5

2

|=12，
即

1

2

x²-3x+

5

2

=±6，
方程

1

2

x²-3x+

5

2

=-6无解，则

1

2

x²-3x+

5

2

=6，
解得：x₁=7，x₂=-1．
故可得点Q的坐标为（-1，6）或（7，6）．

点评：此题考查了二次函数的综合题，涉及了待定系数法求函数解析式及三角形的面积，根据对称性求出与x轴的交点是解题的关键，第二问的求解需要我们借助方程，注意△ABQ的面积表达式的出得．