Question

已知，x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+（m²+1）=0的两个实数根．
（1）用含m的代数式表示x₁²+x₂²；
（2）当x₁²+x₂²=15时，求m的值．

Answer 1

解：（1）因为x₁、x₂是关于x的一元二次方程x²+（2m+1）x+（m²+1）=0的两个实数根，
所以x₁+x₂=-2m-1，x₁x₂=m²+1．
所以x₁²+x₂²=（x₁+x₂）²-2x₁x₂=（-2m-1）²-2（m²+1）=2m²+4m-1；
（2）当x₁²+x₂²=15时，
2m²+4m-1=15，
解得m₁=2，m₂=-4．
当m=-4时，方程无实数解．
故m=2．
分析：（1）先把所求代数式配方，然后根据根与系数的关系求出关系式；
（2）代入（1）可以得到关于m的方程，然后解方程即可．
点评：此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．最后注意把所求的值代入判别式进行检验．