Question

【题目】如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是AB边上点（点D与A，B不重合），连结CD，将线段CD绕点C按逆时针方向旋转90°得到线段CE，连结DE交BC于点F，连接BE．

（1）求证：△ACD≌△BCE；

（2）当AD＝BF时，求∠BEF的度数；

（3）若AB＝4，AD＝1，求CD的长．

Answer 1

【答案】（1）见解析;（2）∠BEF＝67.5°；（3）．

【解析】

（1）由题意可知：CD=CE，∠DCE=90°，由于∠ACB=90°，所以∠ACD=∠ACB-∠DCB，∠BCE=∠DCE-∠DCB，所以∠ACD=∠BCE，从而可证明△ACD≌△BCE（SAS）
（2）由△ACD≌△BCE（SAS）可知：∠A=∠CBE=45°，BE=BF，从而可求出∠BEF的度数；
（3）易证△DBE是直角三角形，由勾股定理可求出DE的长，进而可求出CD的长．

解：（1）证明：由题意可知：CD＝CE，∠DCE＝90°，

∵∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝∠ACB﹣∠DCB，∠BCE＝∠DCE﹣∠DCB，

∴∠ACD＝∠BCE，

在△ACD与△BCE中，

，

∴△ACD≌△BCE（SAS）

（2）∵∠ACB＝90°，AC＝BC，

∴∠A＝45°，

由（1）可知：∠A＝∠CBE＝45°，

∵AD＝BF，

∴BE＝BF，

∴∠BEF＝67.5°；

（3）∵△ACD≌△BCE，

∴AD＝BE＝1，∠CBE＝∠A＝45°，

∵AB＝4，

∴DB＝3，

∵∠DBE＝∠CBA+∠CBE＝90°，

∴△DBE是直角三角形，

∴DE＝＝，

∵△CDE是等腰直角三角形，

∴CD＝CE＝．