Question

如图，在直角梯形ABCD中，∠ABC=90°，AD∥BC，AD=4，AB=5，BC=8．点P是AB上一个动点，则PC+PD的最小值是

 

．

Answer 1

考点：轴对称-最短路线问题,直角梯形

专题：

分析：要求PC+PD的和的最小值，PC，PD不能直接求，可考虑通过作辅助线转化PC，PD的值，从而找出其最小值求解．

解答：解：延长CB到E，使EB=CB=8，连接DE交AB于P．则DE就是PC+PD的和的最小值．
∵AD∥BE，
∴∠A=∠PBE，∠ADP=∠E，
∴△ADP∽△BEP，
∴AP：BP=AD：BE=4：8=1：2，
∴PB=2AP，
∵AP+BP=AB=5，
∴AP=

5

3

，BP=

10

3

，
∴PD=

AD2+AP2

=

13

3

，PE=

26

3

，
∴DE=PD+PE=

13

3

+

26

3

=13，
∴PC+PD的最小值是13，
故答案为：13．

点评：本题考查的是轴对称-最短路线问题，涉及到轴对称的性质、勾股定理的运用及相似三角形的判定和性质，解题时要注意找到对称点，并根据“两点之间线段最短”确定P点的位置是解答此题的关键．