Question

13．如图，AB，CD是⊙O的弦，AB⊥CD，且AE=$\sqrt{3}$，EB=3$\sqrt{3}$，$\widehat{AB}$的度数为120°．解答问题：
（1）请用直尺和圆规作出圆心O（不写作法，保留痕迹）
（2）求出⊙O的半径；
（3）求出弦CD的长度．

Answer 1

分析 （1）分别作AB和CD的垂直平分线，它们的交点为点O；
（2）连接OB，AB的垂直平分线交AB于F，如图，根据垂径定理得到AF=BF，利用圆心角、弧、弦的关系得到∠BOF=60°，然后在Rt△BOF中利用∠BOF的正弦可求出OB；
（3）CD的垂直平分线交CD于H，连接OD，如图，易得四边形OFEH为矩形，则OH=EF=$\sqrt{3}$，则在Rt△OHD中利用勾股定理可计算出DH=$\sqrt{13}$，然后根据垂径定理得到CD=2DH=2$\sqrt{13}$．

解答 解：（1）如图，点O为所作；

（2）连接OB，AB的垂直平分线交AB于F，如图，
∵OF⊥AB，
∴AF=BF，∠BOF=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
∵AE=$\sqrt{3}$，EB=3$\sqrt{3}$，$\widehat{AB}$
∴AF=BF=2$\sqrt{3}$，
在Rt△BOF中，∵sin∠BOF=$\frac{BF}{OB}$，
∴OB=$\frac{2\sqrt{3}}{sin60°}$=4，
即⊙O的半径为4；
（3）CD的垂直平分线交CD于H，连接OD，如图，
∵AF=2$\sqrt{3}$，AF=$\sqrt{3}$，
∴EF=$\sqrt{3}$，
易得四边形OFEH为矩形，
∴OH=EF=$\sqrt{3}$，
在Rt△OHD中，DH=$\sqrt{O{D}^{2}-O{H}^{2}}$=$\sqrt{{4}^{2}-（\sqrt{3}）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵OH⊥CD，
∴CH=DH，
∴CD=2DH=2$\sqrt{13}$．

点评 本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．也考查了垂径定理和解直角三角形．