Question

16．已知反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过A（m，m+1），B（m+3，m-1）两点，C为x轴上一点，D为y轴上一点，以点A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，求直线CD的解析式．

Answer 1

分析 首先把点A和点B的坐标代入反比例函数的解析式，得到关于m的方程，解方程求出m的值，进而可求出A，B的坐标，先利用待定系数法求出直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+6，利用勾股定理计算出AB的长为$\sqrt{13}$，然后根据平行四边形的性质得AB∥CD，AB=CD=$\sqrt{13}$，于是可设直线CD的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+n，易得D点坐标为（0，n），C点坐标为（$\frac{3}{2}$n，0），然后再利用勾股定理得OD²+OC²=DC²，即n²+（$\frac{3}{2}$n）²=13，解方程求出n的值，即可确定直线CD的函数关系式．

解答 解：∵反比例函数y=$\frac{k}{x}$的图象经过A（m，m+1），B（m+3，m-1）两点，
∴m（m+1）=（m+3）（m-1），
解得：m=3，
∴A（3，4），B（3，2），
设直线AB的解析式为y=kx+b，
把A（3，4）、B（6，2）分别代入得$\left\{\begin{array}{l}{3k+b=4}\\{6k+b=2}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=-\frac{2}{3}}\\{b=6}\end{array}\right.$，
∴直线AB的解析式为y=-$\frac{2}{3}$x+6，
AB的长=$\sqrt{（6-3）^{2}+（4-2）^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∵以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD=$\sqrt{13}$，
直线CD的解析式可设为y=-$\frac{2}{3}$x+n，
则D点坐标为（0，n），C点坐标为（$\frac{3}{2}$n，0），
在Rt△ODC中，OD²+OC²=DC²，
∴n²+（$\frac{3}{2}$n）²=13，解得n=2或-2，
∴n=2，
∴直线CD的函数关系式为y=-$\frac{2}{3}$x+2或y=-$\frac{2}{3}$x-2．

点评 本题考查了反比例函数综合题：点在反比例函数图象上，则点的坐标满足图象的解析式；运用待定系数法求函数的解析式；掌握平行四边形的性质和两直线平行线的解析式的关系以及勾股定理是解题关键．