在△CDE中.∠C=90°.CD.CE的长分别为m.n.且DE•cosD=cotE．(1)求证m2=n,(2)若m=2.抛物线y=a(x-m)2+n与直线y=3x+4交于A(x1.y1)和B(x2.y2)两点.且△AOB的面积为6.求a的值,(3)若是k2=nm2.c+l-b=0.抛物线y=k(x2+bx+c)与x轴只有一个交点在原点的右侧.试判断抛物线与y轴的交点在y轴� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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在△CDE中，∠C=90°，CD，CE的长分别为m，n，且DE•cosD=cotE．
（1）求证m²=n；
（2）若m=2，抛物线y=a（x-m）²+n与直线y=3x+4交于A（x₁，y₁）和B（x₂，y₂）两点，且△AOB的面积为6（O为坐标原点），求a的值；
（3）若是k²=

，c+l-b=0，抛物线y=k（x²+bx+c）与x轴只有一个交点在原点的右侧，试判断抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴还是负半轴，并证明你的结论．

分析：（1）由已知的三角函数得出DE•

，推出CD²=CE即可证明．
（2）解关于二次函数与一次函数组成的方程组，利用一元二次方程根与系数的关系即可求出AB的距离，再根据直线与x轴的交点可求出△AOB的高，根据其面积即可求出a的值．
（3）由k²=

，c+l-b=0，可求出k、c的值，代入抛物线y=k（x²+bx+c），再根据抛物线y=k（x²+bx+c）与x轴只有一个交点可求出△的值，再另x=0，即可求出抛物线与y轴的交点坐标，根据△进行判断即可．

解答：（1）证明：由DE•cosD=cotE，有DE•

．
∴CD²=CE，
∴m²=n．

（2）解：由题意得

y=a(x-2)2+4

y=3x+4

，
即ax²-（4a+3）x+4a=0
∴x₁+x₂=

4a+3

，x₁x₂=4．
∴|x₁-x₂|=

(x1+x2)2-4x1x2

(4a+3)2

-16

24a+9

|a|

∴|AB|=

240+90

|a|

．
又直线y=3x+4与y轴交于M（0，4），与x轴交于N（-

，0）．
设OH=h垂直于MN，
则h=

∵

•

240a+90

|a|

•

=6，
∴

24a+9

=3|a|．
∴a=3或a=-

．

（3）∵k²=

，c+l-b=0，
∴k²=

=1，c+1-b=0，c=b-1，
抛物线y=k（x²+bx+c）可化为y=x²+bx+b-1，
∵抛物线与x轴只有一个交点，在原点的右侧，
∴△=b²-4（b-1）=b²-4b+4=0，即b-1=

＞0
令x=0，则y=b-1=

＞0，
故抛物线与y轴的交点在y轴的正半轴．

点评：本题考查的是锐角三角函数的定义，二次函数图象上点的坐标特点及一元二次方程根与系数的关系，涉及面较广，但难度适中．

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