Question

如图，已知抛物线C₁：y＝a(x－2)²－5的顶点为P，与x轴相交于A、B两点(点A在点B的左边)，点A的横坐标是－1．

(1)求p点坐标及a的值；

(2)如图(1)，抛物线C₂与抛物线C₁关于x轴对称，将抛物线C₂向左平移，平移后的抛物线记为C₃，C₃的顶点为M，当点P、M关于点A成中心对称时，求C₃的解析式y＝a(x－h)²＋k；

(3)如图(2)，点Q是x轴负半轴上一动点，将抛物线C₁绕点Q旋转180°后得到抛物线C₄．抛物线C₄的顶点为N，与x轴相交于E、F两点(点E在点F的左边)，当以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形时，求顶点N的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

　　解：(1)由抛物线C₁：得顶点P的坐标为(2，5)　　1分

　　∵点A(－1，0)在抛物线C₁上∴　　2分

　　(2)连接PM，作PH⊥x轴于H，作MG⊥x轴于G．

　　∵点P、M关于点A成中心对称，

　　∴PM过点A，且PA＝MA．

　　∴△PAH≌△MAG．

　　∴MG＝PH＝5，AG＝AH＝3．

　　∴顶点M的坐标为(，5)　　3分

　　∵抛物线C₂与C₁关于x轴对称，抛物线C₃由C₂平移得到

　　∴抛物线C₃的表达式　　4分

　　(3)∵抛物线C₄由C₁绕x轴上的点Q旋转180°得到

　　∴顶点N、P关于点Q成中心对称．

　　由(2)得点N的纵坐标为5．

　　设点N坐标为(m，5)，作PH⊥x轴于H，作NG⊥x轴于G，作PR⊥NG于R．

　　∵旋转中心Q在x轴上，

　　∴EF＝AB＝2AH＝6．

　　∴EG＝3，点E坐标为(，0)，H坐标为(2，0)，R坐标为(m，－5)．

　　根据勾股定理，得

　　

　　

　　

　　①当∠PNE＝90°时，PN²＋NE²＝PE²，

　　解得m＝，∴N点坐标为(，5)

　　②当∠PEN＝90°时，PE²＋NE²＝PN²，

　　解得m＝，∴N点坐标为(，5)．

　　③∵PN＞NR＝10＞NE，∴∠NPE≠90°　　7分

　　综上所得，当N点坐标为(，5)或(，5)时，以点P、N、E为顶点的三角形是直角三角形　　8分

　　说明：点N的坐标都求正确给8分，不讨论③不扣分．