Question

5．（1）数学实验室：
若点A、B在数轴上分别表示有理数a、b，则A、B两点之间的距离表示为AB，即AB=|a-b|．
利用数轴回答下列问题：
①数轴上表示2和5两点之间的距离是3，
②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|．
③若x表示一个有理数，且-3＜x＜1，则|x-1|+|x+3|=4．
④若x表示一个有理数，且|x-1|+|x+3|＞4，则有理数x的取值范围x＜-3或x＞1．
（2）三个数a、b、c的积为负数，和为正数，且x=$\frac{a}{|a|}$+$\frac{b}{|b|}$+$\frac{c}{|c|}$+$\frac{{|{ab}|}}{ab}$+$\frac{{|{ac}|}}{ac}$+$\frac{{|{bc}|}}{bc}$，则ax³+bx²+cx-5的值是-5．
（3）定义一种对正整数n的“F运算”：①当n为奇数时，结果为3n+5；②当n为偶数时，结果为$\frac{n}{{2}^{k}}$（其中k是使$\frac{n}{{2}^{k}}$为奇数的正整数），并且运算重复进行．例如，取n=26，则：

若n=449，则第2016次“F运算”的结果是1．

Answer 1

分析 （1）①②在数轴上A、B两点之间的距离AB=|a-b|，依此即可求解；
③根据绝对值的性质去掉绝对值号，然后计算即可得解；
④由于|x-1|+|x+3|＞4，可得有理数x的取值范围是-3的左边，1的右边；
（2）由三个数a、b、c的积为负数，可知三数中只有一个是负数，或三个都是负数；又三数的和为正，故a、b、c中只有一个是负数，根据对称轮换式的性质，不妨设a＜0，b＞0，c＞0，求x的值即可；
（3）由于n=449是奇数，所以第一次利用①进行计算，得到结果1352，此时是偶数，利用②进行计算，除以8，才能成为奇数，然后再利用①计算得到结果是512，接着利用②除以512才能成为奇数，结果为1，再利用①结果为8，以后结果就出现循环，利用这个规律即可求出结果．

解答 解：（1）①数轴上表示2和5两点之间的距离是5-2=3；   
②数轴上表示x和-2的两点之间的距离表示为|x+2|；
③∵-3＜x＜1，
∴|x-1|+|x+3|
=-x+1+x+3
=4；   
④∵|x-1|+|x+3|＞4，
∴有理数x的取值范围x＜-3或x＞1；
（2）∵abc＜0，
∴a、b、c中只有一个是负数，或三个都是负数；
又∵a+b+c＞0，
∴a、b、c中只有一个是负数．
不妨设a＜0，b＞0，c＞0，
则ab＜0，ac＜0，bc＞0，
x=-1+1+1-1-1+1=0，
当x=0时，
ax³+bx²+cx-5=0+0+0-5=-5；
（3）第一次：3×449+5=1352，
第二次：$\frac{1352}{{2}^{k}}$，根据题意k=3时结果为169；
第三次：3×169+5=512，
第四次：因为512是2的9次方，所以k=9，计算结果是1；
第五次：1×3+5=8；
第六次：$\frac{8}{{2}^{k}}$，因为8是2的3次方，所以k=3，计算结果是1，此后计算结果8和1循环．
因为2016是偶数，所以第2016次“F运算”结果是1．
故答案为：3；|x+2|；4；x＜-3或x＞1；-5；1．

点评 此题考查了数轴，绝对值的性质，读懂题目信息，理解数轴上两点间的距离的表示是解题的关键．注意分类思想的运用．同时考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．