Question

黑板上有三个正整数a、b、c（不计顺序）．允许进行如下的操作：擦去其中的任意一个数，写上剩下的两个数的平方和．如：擦去a，写上b²+c²，这次操作完成后，黑板上的三个数为b、c、b²+c²．问：
（1）当黑板上的三个数分别为1，2，3时，能否经过有限次操作使得这三个数变为56，57，58（不计顺序）．若能，请给出操作方法；若不能，请说明理由；
（2）是否存在三个小于2000的正整数a、b、c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2007．若能，写出正整数a、b、c，并给出操作方法；若不能，请说明理由；
（3）是否存在三个小于2000的正整数a、b、c，使得它们经过有限次操作后，其中的一个数为2008．若能，写出正整数a、b、c，并给出操作方法；若不能，请说明理由．

Answer 1

解：（1）不能；
当黑板上的三个数为1、2、3时，不论进行哪种操作都不能改变3个数的奇偶性，即三个数必为2个奇数1个偶数，
因此不能变为56、57、58．
（2）不能；
若能，则2007一定可以表示为两个正整数的平方和，即2007=m²+n²（m，n为正整数）．
又任意一个自然数m，必有m²≡0（mod4）或m²≡1（mod4），
所以m²+n²≡0（mod4）或m²+n²≡1（mod4）或m²+n²≡2（mod4），而2007≡3（mod4），
因此不可能．
（3）不能；
若能，由（2）知，因为2008≡0（mod4），不妨设2008=（2m）²+（2n）²（其中m、n为正整数），
因此m²+n²=502．又任意一个自然数m，必有m²≡0（mod8）或m²≡1（mod8），
所以m²+n²≡0（mod8）或m²+n²≡1（mod8）或m²+n²≡2（mod8），而502≡6（mod8），
因此不可能．
分析：（1）首先要知道平方不能改变一个数的奇偶性，而且题目的操作都不能改变3个数的奇偶性，由这可以判断不能变为56、57、58；
（2）不能；若能，则2007一定可以表示为两个正整数的平方和，即2007=m²+n²（m，n为正整数），然后利用余数定理得到2007与3被4除余数相同，而m²+n²不可能被4除余数是3，所以假设是错误的；
（3）不能；若能，由（2）知，因为2008≡0（mod4），同样根据（2）可以推出m²+n²不可能被4除余数是0，所以假设是错误的．
点评：此题是竞赛题，主要考查了奇偶性，余数定理，可能有的符号还不能理解．