Question

9．如图，已知抛物线y=-$\frac{1}{4}$x²+bx+c与y轴交于点C（0，2），与x轴交于A，B两点，点A的坐标为（-2，0）．
（1）求抛物线的解析式及点B的坐标；
（2）若点D为该抛物线上的一个动点，且在直线BC上方，当以B，C，D为顶点的三角形面积最大时，求点D的坐标及此时三角形的面积；
（3）抛物线的对称轴为直线l，点C关于l的对称点为E，能否在抛物线和l上分别找到点P，Q，使得以C，E，P，Q为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据待定系数法，可得函数关系式，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案；
（2）根据平行于y轴直线上两点间的距离是交大的纵坐标减较小的纵坐标，可得DE的长，根据三角形的面积，可得答案；
（3）根据一组对边平行且相等，可得PE的长，根据自变量与函数值得对应关系，可得答案．

解答 解：（1）将A、C坐标代入函数解析式，得
$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{-1-2b+c=0}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{c=2}\\{b=\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
抛物线的解析式为y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2
当y=0时，-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=0，
解得x=-2，x=4，
即B点的坐标为（4，0），
（2）如图1，，
BC的解析式为y=-$\frac{1}{2}$x+2，
设D点坐标为（m，-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2），E点坐标为（m，-$\frac{1}{2}$m+2），
DE的长为-$\frac{1}{4}$m²+$\frac{1}{2}$m+2-（-$\frac{1}{2}$m+2）=-$\frac{1}{4}$m²+m，
S_△BCD=$\frac{1}{2}$DE•x_B=$\frac{1}{2}$（-$\frac{1}{4}$m²+m）×4=-$\frac{1}{2}$m²+2m=-$\frac{1}{2}$（m-2）²+2，
当m=2时，S_△BCD最大，此时D点坐标为（2，2）；
（3）存在P点，
如图，
y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=-$\frac{1}{4}$（x-1）²+$\frac{9}{2}$，
抛物线的对称轴是x=1．
C点关于对称轴的对称点是（2，2）
CE=2．
①CE∥P₁Q₁，CE=P₁Q₁=2，
1-2=-1，
当x=-1时，y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=$\frac{5}{4}$，即P₁（-1，$\frac{5}{4}$），
②CE∥P₂Q₂，CE=P₂Q₂=2，
1+2=3，
当x=3时，y=-$\frac{1}{4}$x²+$\frac{1}{2}$x+2=$\frac{5}{4}$，即P₁（3，$\frac{5}{4}$），
综上所述：P点坐标为（-1，$\frac{5}{4}$），（3，$\frac{5}{4}$）．

点评 本题考查了二次函数综合题，利用待定系数法求函数解析式是解（1）的关键； 利用平行于y轴直线上两点间的距离是交大的纵坐标减较小的纵坐标得出DE的长是解（2）的关键；利用CE=P₁Q₁=2得出P的横坐标是解题关键．