Question

如图，已知AB为⊙O的直径，AC是弦，∠BAC=30°，∠ABD=120°，CD⊥BD于D．
（1）求证：CD是⊙O的切线；
（2）若AB=8，求CD的长度．

Answer 1

解：（1）证明：连接OC，BC，如图所示；

∵AB为圆O的直径，
∴∠ACB=90°，又∠BAC=30°，
∴∠ABC=60°，
∵OC=OB，
∴∠OBC=∠OCB=60°，
∵∠ABD=120°，
∴∠CBD=∠ABD-∠ABC=60°，
∵BD⊥CD，
∴∠D=90°，
∴∠BCD=30°，
∴∠OCD=∠OCB+∠BCD=90°，
∴CD⊥OC，
则CD为圆O的切线；
（2）在Rt△ABC中，∠BAC=30°，AB=8，
∴BC=AB=4，
在Rt△BCD中，∠BCD=30°，BC=4，
∴CD=BCcos30°=4×=2．
分析：（1）连接OC，BC，由AB为圆O的直径，得到∠ACB为直角，又∠BAC=30°，得到∠ABC=60°，再由OC=OB，利用等边对等角得到∠OBC=∠OCB，得到∠OCB的度数为60°，又∠ABD=120°，利用∠ABD-∠ABC求出∠CBD的度数，在直角三角形BCD中，求出∠BCD的度数为30°，可得出∠OCD为直角，即CD与OC垂直，即可得出CD为圆O的切线，得证；
（2）在直角三角形ABC中，利用30°角所对的直角边等于斜边的一半，根据AB的长求出BC的长，在直角三角形BCD中，利用锐角三角函数定义表示出cos∠BCD，再由BC的长及特殊角的三角函数值即可求出CD的长．
点评：此题考查了切线的判定，勾股定理，等腰三角形的性质，以及锐角三角函数定义，切线的证明方法有两种：有点连接，证明垂直；无点作垂线，证明垂线段等于圆的半径．