Question

如图，△ABC中，已知AB=AC，△DEF是△ABC的内接正三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，则用β、γ表示α的关系式是

α=

β+γ

2

．

Answer 1

分析：先根据等腰三角形的性质及三角形内角和定理可知∠A+2∠B=180°，由α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，△DEF是等边三角形可知∠1=120°-β，∠2=120°-γ，由三角形内角和定理可知∠A+∠1+γ=180°，∠B+α+∠2=180°，再把所得式子联立即可求出α、β、γ的关系．

解答：解：∵△ABC中，AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴∠A+2∠B=180°①，
∵△DEF是等边三角形，α=∠BDF，β=∠CED，γ=∠AFE，
∴∠1=120°-β，∠2=120°-γ，
在△AEF中，∠A+∠1+γ=180°，即∠A+120°-β+γ=180°②，
在△BDF中，∠B+α+∠2=180°，即∠B+α+120°-γ=180°③，
①②③联立，解得α=

β+γ

2

．
故答案为：α=

β+γ

2

．

点评：本题考查的是等边三角形及等腰三角形的性质，解答此类题目时往往用到三角形的内角和是180°是解答此题的关键．