Question

如图，已知：在△ABC中，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，且a、b是关于x的一元二次方程x²+4（c+2）=（c+4）x的两个根，点D是以C为圆心，CB为半径的圆与AB的交点。
（1）证明：△ABC是直角三角形；
（2）若，求AB的长；
（3）在（2）的条件下求AD长。

Answer 1

解：（1）依题意，得a+b=c+4，ab=4（c+2）
∴a²+b²=（a+b）²-2ab=（c+4）²-2×4（c+2）=c²+8c+16-8c-16=c²
∴△ABC是直角三角形；
（2）设a=3k，b=4k，从而c=5k（k>0），代入a+b=c+4，得k=2，
∴a=6，b=8，c=10；
（3）过C做CE⊥AB于E，
则CE=，
 
由垂径定理，得BD=2BE=
故AD=10-BD=10-7.2=2.8。