Question

等腰梯形ABCD中，AD∥BC，E、F、G、H分别是AD、BE、BC、CE的中点．
试探究：
（1）四边形EFGH的形状；
（2）若BC=2AD，且梯形ABCD的面积为9，求四边形EFGH的面积．

Answer 1

解：（1）∵梯形ABCD是等腰梯形，
∴AB=CD，∠A=∠D（等腰梯形的两腰相等，在同一底边上的两内角相等），
又∵AE=DE，
∴△ABE≌△DCE（SAS）．
∴BE=CE（全等三角形的对应边相等）．
又∵EF=EB，EH=EC，
∴EF=EH．
∵G、F、H分别是BC、BE、CE的中点，
∴GF∥CE，GH∥BE（三角形中位线定理）．
∴四边形EFGH是平行四边形（平行四边形的定义）．
∴四边形EFGH是菱形（有一组邻边相等的平行四边形是菱形）．

（2）∵BE=CE，G为BC中点，
∴EG⊥BC（等腰三角形的三线合一）．
∴EG为梯形ABCD的高．
∵S_梯形=（AD+BC）×EG=9，BC=2AD，
∴（BC+BC）×EG=9，
∴BC•EG=12．
∵F、H分别是BE、CE的中点，
∴FH=BC．
∴S_菱形EFGH=FH•EG=××BC•EG=3．
分析：（1）根据题意ABCD为等腰梯形，得出AB=CD，∠A=∠D，即可得出△ABE≌△DCE，进而得出EF=EH，再根据中位线定理，可以得出GF∥CE，GH∥BE，即可知道EFGH为菱形．
（2）由BE=CE，G为BC中点，可以得出EG⊥BC，根据梯形的面积公式，得到S_梯形=（AD+BC）×EG=9，有BC=2AD，可以得出BC•EG的值，有菱形的面积公式S_菱形EFGH=FH•EG，且FH=BC，即可得出答案．
点评：本题考查了等腰梯形的性质，以及菱形的判定．属于小型的综合性试题，要求对每个知识点有很好的掌握．