如图.在菱形ABCD中.AB=6.∠ABC=60°.动点E.F同时从点B出发.其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动.点F从点B出发沿B-C-A的路线向终点以每秒2个单位的速度运动.以EF为边向上作等边三角形EFG．AH是△ABC中BC边上的高.两点运动时间为t秒.△EFG和△AHC有重合部分时.重合部分图形的周长为L．(1)用含t的代数式表示线段CF� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

4．

如图，在菱形ABCD中，AB=6，∠ABC=60°，动点E、F同时从点B出发，其中点E从点B向点A以每秒1个单位的速度运动，点F从点B出发沿B-C-A的路线向终点以每秒2个单位的速度运动，以EF为边向上（或向右）作等边三角形EFG．AH是△ABC中BC边上的高，两点运动时间为t秒，△EFG和△AHC有重合部分时，重合部分图形的周长为L．
（1）用含t的代数式表示线段CF的长；
（2）求点G落在AC上时t的值；
（3）求L关于t的函数关系式．

分析（1）由菱形的性质得出BC=AB=6得出CF=BC-BF=6-2t即可；
（2）由菱形的性质和已知条件得出△ABC是等边三角形，得出∠ACB=60°，由等边三角形的性质和三角函数得出∠GEF=60°，GF=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，证出∠GFC=90°，由三角函数求出CF=$\frac{GF}{tan60°}$=t，由BF+CF=BC得出方程，解方程即可；
（3）分三种情况：①当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，根据梯形的周长公式即可得出结果；②当2＜t≤3时，由①的结果容易得出结论；③当3＜t＜6时，由①的结果容易得出结论．

解答解：（1）根据题意得：BF=2t，
∵四边形ABCD是菱形，
∴BC=AB=6，
∴当0≤t≤6时，CF=BC-BF=6-2t；
当6＜t≤12时，CF=2t-6；

（2）点G落在线段AC上时，如图1所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB=BC，
∵∠ABC=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴∠ACB=60°，
∵△EFG是等边三角形，
∴∠GFE=60°，GF=EF=BF•sin60°=$\sqrt{3}$t，
∵EF⊥AB，
∴∠BFE=90°-60°=30°，
∴∠GFB=90°，
∴∠GFC=90°，
∴CF=$\frac{GR}{tan60°}$=$\frac{\sqrt{3}t}{\sqrt{3}}$=t，
∵BF+CF=BC，
∴2t+t=6，
解得：t=2；

（3）当$\frac{3}{2}$＜t≤2时，如图2，L=2$\sqrt{3}$t+$\frac{2}{\sqrt{3}}$（2t-3）=$\frac{10}{3}\sqrt{3}t$-2$\sqrt{3}$，
当2＜t≤3时，如图3所示：L=$\sqrt{3}$t+$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$+[6-$\frac{1}{2}$（6-t）-2（6-2t）]+$\sqrt{3}$（6-2t）=$\frac{27-7\sqrt{3}}{6}t$+7$\sqrt{3}$-9，
当3＜t＜6时，如图4，L=$\sqrt{3}$（6-t）+$\frac{\sqrt{3}}{2}$×$\sqrt{3}$（6-t）+$\frac{1}{2}$（6-t）×$\frac{\sqrt{3}}{3}$=-$\frac{7\sqrt{3}+9}{6}t$+7$\sqrt{3}$+9．

点评本题是四边形综合题目，考查了菱形的性质、等边三角形的判定与性质、三角函数、三角形面积的计算等知识；本题综合性强，难度较大，特别是（3）中，需要进行分类讨论才能得出结果．

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