Question

工程师有一块长AD为12分米，宽AB为8分米的铁板，截去了长AE=2分米，AF=4分米的直角三角形，在余下的五边形中结的矩形MGCH，M必须在线段EF上．
（1）若截得矩形MGCH的面积为70平方分米，求矩形MGCH的长和宽．
（2）当EM为多少时，矩形MGCH的面积最大？并求此时矩形的周长．

Answer 1

分析：（1）作MN⊥AE，设矩形的长为x，宽为y由“

AF

AE

=

MN

NE

=

AD-x

y-BE

”和“S=xy”求得长和宽；
（2）设EM长为a，矩形MGCH的面积用MH、MG表示，由比值关系把S表示为a的函数式，求得最大值．

解答：解：（1）作MN⊥AE，设矩形的长为x分米，宽为y分米；
∵MN⊥AE，
∴MN∥AF，
∴△EMN∽△EFA
∴

AF

AE

=

MN

NE

又∵MN=AD-x=12-x
NE=y-（AB-AE）=y-6
AF=4，AE=2

4

2

=

12-x

y-6

，
S=xy=70
解得：x=10，y=7
答：矩形MGCH的长和宽分别为10分米和7分米．

（2）设EM长为a，△EMN∽△EFA，

EM

EF

=

MN

AF

=

NE

AE

，
EF=

AE2+AF2

=2

5

，MN=

2 5

5

a，NE=

5

5

a，
MH=AD-MN=12-

2 5

5

a，MG=BE+EN=AB-AE+EN=6+

5

5

a
∴S=MH×MG
=（12-

2 5

5

a）×（ 6+

5

5

a）
=-

2

5

a2+72
由此，a=0时，面积最大即M点与E点重合．
此时的周长L=2MH+2MG=36分米．
答：当EM为0时，矩形MGCH的面积最大，并求此时矩形的周长为36分米．

点评：本题考查了我们由几何关系列出函数关系并求最值的能力．