Question

（2012•温州模拟）如图，过点B（2，0）的直线l：y=kx+2

3

交y轴于点A，与反比例函数y=

m

x

的图象交于点C（3，n）．
（1）求反比例函数的解析式；
（2）将△OBC绕点O逆时针方向旋转α角（α为锐角），得到△OB′C′．当OC′⊥AB时，求点C运动的路径长．

Answer 1

分析：（1）利用待定系数法把B（2，0）代入直线ly=kx+2

3

的解析式可以算出k的值，继而得到直线l的解析式，再把C点坐标代入直线l的解析式可以算出C点坐标，再把C点坐标代入反比例函数y=

m

x

即可得到反比例函数的解析式；
（2）首先根据题意画出图形，证明AO=CO，根据等边对等角可得∠ACO=∠OAC，再利用勾股定理计算出AB的长，继而得到∠OAC的度数，也就是得到了∠ACO的度数，再由条件OC′⊥AB计算出∠C′OC的度数，再根据弧长公式计算出点C运动的路径长．

解答：解：（1）∵点B（2，0）在直线l：y=kx+2

3

上，
∴2k+2

3

=0，
∴k=-

3

，
直线l的解析式为：y=-

3

x+2

3

，
∵点C（3，n）在直线y=-

3

x+2

3

上，
∴-

3

×3+2

3

=n，
n=-

3

，
∴C点坐标是（3，-

3

），
∵C（3，-

3

）在反比例函数y=

m

x

的图象上，
∴m=-3

3

，
∴反比例函数的解析式是：y=-

3 3

x

；

（2）过C点作CE⊥x轴于E，如图，
∵C点坐标是（3，-

3

），
∴OC=

32+(- 3 )2

=2

3

，
∵点A是直线y=-

3

x+2

3

与y轴交点，
∴AO=2

3

，
∵AO=CO，
∴∠ACO=∠OAC，
又∵OB=2，
∴AB=

(2 3 )2+22

=4，
∴∠OAB=30°，
∴∠ACO=30°，
∵OC′⊥AB，
∴∠C′OC=60°，
点C的运动路径的长度=

60π×2 3

180

=

2 3 π

3

．

点评：此题主要考查了利用待定系数法求一次函数、反比例函数关系式，以及旋转和弧长公式，关键是掌握凡是图象经过的点都能满足解析式，求出∠C′OC的度数是解决第二问的关键．