Question

16．在直角坐标系中，抛物线y=x²-（k+1）x+k与x轴相交于点A（1，0）和点B（点B在点A左侧），与y轴相交于点C
（1）若k=-1，直接写出线段AB的长：AB=2；
（2）若AB=4，则k的值为-3；
（3）在（2）的条件下，
①求直线BC的解析式；
②点P是直线BC下方抛物线上的一个动点，试求△PBC面积的最大值及此时点P的坐标；
（4）若k＜0，且△ABC是等腰三角形，求k的值．

Answer 1

分析 （1）k=-1时，抛物线解析式为y=x²-1，然后解方程x²-1=0得到B（-1，0），则AB=2；
（2）先确定B（-3，0），再利用交点式写出抛物线解析式，从而得到k的值；
（3）①先确定C（0，-3），再解方程x²+2x-3=0得到B（-3，0），然后利用待定系数法求出直线BC的解析式；
②作PQ∥y轴交BC于Q，如图，设P（t，t²-2t-3），则Q（t，-t-3），PQ=-t-3-（t²+2t-3）=-t²-3t，利用三角形面积公式得到S_△PBC=S_△PBQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•PQ•3=-$\frac{3}{2}$t²$\frac{9}{2}$t，然后利用二次函数的性质求解；
（4）先解方程x²-（k+1）x+k=0得到B（k，0），再确定C（0，k），利用勾股定理得到BC=-$\sqrt{2}$k，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$，然后分类讨论：当CA=CB时，即-k=1；当BA=BC时，1-k=-$\sqrt{2}$k；当AB=AC时，1-k=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，再分别解方程求出满足条件的k的值．

解答 解：（1）k=-1时，抛物线解析式为y=x²-1，
当x=0时，x²-1=0，解得x₁=1，x₂=-1，则B（-1，0），
∴AB=1-（-1）=2；

（2）∵AB=4，A（1，0），
∴B（-3，0），
∴抛物线的解析式为y=（x+3）（x-1），
即y=x²+2x-3；
∴k=-3；
故答案为2，-3；

（3）①当x=0时，y=x²+2x-3=3，则C（0，-3），
当y=0时，x²+2x-3=0，解得x₁=1，x₂=-3，则B（-3，0），
设直线BC的解析式为y=mx+n，
把B（-3，0），C（0，-3）代入得$\left\{\begin{array}{l}{-3m+n=0}\\{n=-3}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{m=-1}\\{n=-3}\end{array}\right.$，
∴直线BC的解析式为y=-x-3；
②作PQ∥y轴交BC于Q，如图，设P（t，t²-2t-3），则Q（t，-t-3），
则PQ=-t-3-（t²+2t-3）=-t²-3t，
S_△PBC=S_△PBQ+S_△PCQ=$\frac{1}{2}$•PQ•3=-$\frac{3}{2}$t²$\frac{9}{2}$t=-$\frac{3}{2}$（t+$\frac{3}{2}$）²+$\frac{27}{8}$，
当t=-$\frac{3}{2}$时，PBC面积有最大值，最大值为$\frac{27}{8}$，此时P点坐标为（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）；

（4）当y=0时，x²-（k+1）x+k=0，解得x₁=1，x₂=k，则B（k，0），
当x=0时，y=x²-（k+1）x+k=k，则C（0，k），
∴BC=$\sqrt{{k}^{2}+{k}^{2}}$=-$\sqrt{2}$k，AC=$\sqrt{{1}^{2}+{k}^{2}}$，
当CA=CB时，OA=OB，即-k=1，解得k=-1；
当BA=BC时，1-k=-$\sqrt{2}$k，解得k=-$\sqrt{2}$-1，
当AB=AC时，1-k=$\sqrt{1+{k}^{2}}$，解得k=0（舍去），
综上所述，满足条件的k的值为-1或-$\sqrt{2}$-1．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和等腰三角形的性质；会利用待定系数法求一次函数和二次函数的解析式．