Question

18．已知二次函数y=-x²+ax+b的图象与y轴交于点A（0，-2），与x轴交于点B（1，0）和点C，D（m，0）（m＞2）是x轴上一点．
（1）求二次函数的解析式；
（2）点E是第四象限内的一点，若以点D为直角顶点的Rt△CDE与以A，O，B为顶点的三角形相似，求点E坐标（用含m的代数式表示）；
（3）在（2）的条件下，抛物线上是否存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形？若存在，请求出点F的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）直接将A，B点代入二次函数解析式进而得出答案；
（2）分别利用当△CDE∽△AOC时以及当△DEC∽△AOC时，分别得出E点坐标即可；
（3）利用平行四边形的性质表示出F点坐标进而得出答案．

解答 解：（1）根据题意，得$\left\{\begin{array}{l}-1+a+b=0\\ b=-2\end{array}$，
解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=3}\\{b=-2}\end{array}\right.$，
∴二次函数的解析式为：y=-x²+3x-2；

（2）当y=0时，有-x²+3x-2=0，
解得，x₁=1，x₂=2，
∴OC=2．
由题意得AO=2，BO=1，CD=m-2．
当△CDE∽△AOC时，
得$\frac{AO}{CD}$=$\frac{BO}{DE}$，
∴$\frac{2}{m-2}$=$\frac{1}{DE}$，
∴DE=$\frac{m-2}{2}$．
∵点E在第四象限，
∴E₁（m，$\frac{2-m}{2}$）．
当△DEC∽△AOC时，得$\frac{AO}{ED}$=$\frac{BO}{CD}$，
∴$\frac{2}{DE}$=$\frac{1}{m-2}$．
∴DE=2m-4．
∵点E在第四象限，
∴E₂（m，4-2m）；

（3）假设抛物线上存在一点F，使得四边形BCEF为平行四边形，则EF=BC=1，
点F的横坐标为m-1，
当点E₁的坐标为：（m，$\frac{2-m}{2}$）时，点F₁的坐标为：（m-1，$\frac{2-m}{2}$），
∵点F₁在抛物线的图象上，
∴$\frac{2-m}{2}$=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴2m²-11m+14=0，
∴（2m-7）（m-2）=0，
解得：m₁=$\frac{7}{2}$，m₂=2（舍去），
∴F₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$）．
当点E₂的坐标为：（m，4-2m）时，点F₂的坐标为：（m-1，4-2m），
∵点F₂在抛物线的图象上，
∴4-2m=-（m-1）²+3（m-1）-2，
∴m²-7m+10=0，
∴（m-2）（m-5）=0，
∴解得：m₁=2（舍去），m₂=5，
∴F₂（4，-6），
∴使得四边形BCEF为平行四边形的点F的坐标为：F₁（$\frac{5}{2}$，-$\frac{3}{4}$），F₂（4，-6）．

点评 此题主要考查了二次函数综合以及平行四边形的性质、相似三角形的判定与性质等知识，正确表示出E，F点坐标是解题关键．