Question

如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ABC=90°，点P是圆外一点，PA切⊙O于点A，且PA=PB．
（1）求证：PB是⊙O的切线；
（2）已知PA=

3

，BC=1，求⊙O的半径．

Answer 1

分析：（1）要证PB是⊙O的切线，只要连接OB，求证∠OBP=90°即可；
（2）连接OP，交AB于点D，求半径时，可以证明△APO∽△DPA，还可证明△PAO∽△ABC，在Rt△OAP中利用勾股定理．

解答：（1）证明：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵PA=PB，
∴∠PAB=∠PBA，
∴∠OAB+∠PAB=∠OBA+∠PBA，
∴∠PAO=∠PBO．（2分）
又∵PA是⊙O的切线，
∴∠PAO=90°，
∴∠PBO=90°，
∴OB⊥PB．（4分）
又∵OB是⊙O半径，
∴PB是⊙O的切线，（5分）
说明：还可连接OB、OP，利用△OAP≌△OBP来证明OB⊥PB．

（2）解：连接OP，交AB于点D，
∵PA=PB，
∴点P在线段AB的垂直平分线上．
∵OA=OB，
∴点O在线段AB的垂直平分线上，
∴OP垂直平分线段AB，（7分）
∴∠PDA=90°．
又∵PA切⊙O于点A，
∴∠PAO=90°，
∴∠PAO=∠PDA，
又∵∠APO=∠DPA，
∴△APO∽△DPA，
∴

AP

DP

=

PO

PA

，
∴AP²=PO•DP．
又∵OD=

1

2

BC=

1

2

，
∴PO（PO-OD）=AP²，即PO（PO-

1

2

）=AP²，即：PO²-

1

2

PO=(

3

)2，
解得PO=2，（9分）
在Rt△APO中，OA=

PO2-PA2

=1，即⊙O的半径为1．（10分）
说明：求半径时，还可证明△PAO∽△ABC或在Rt△OAP中利用勾股定理．

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．同时考查了相似三角形的判定和性质，及勾股定理的运用．