Question

设a₁、a₂、b₁、b₂都是实数，a₁≠a₂且(a₁＋b₁)(a₂＋b₂)＝(a₂＋b₁)(a₁＋b₂)＝1，求证：(a₁＋b₁)(a₂＋b₁)＝(a₁＋b₂)(a₂＋b₂)＝－1．

Answer 1

答案：
解析：

证明：按分析得到恒等式 　　(x＋b1)(x＋b2)－1＝(x－a1)(x－a2)． 　　令x＝－b1，得 　　(－b1－a1)(－b1－a2)＝－1 　　即(a1＋b1)(a2＋b1)＝－1； 　　令x＝－b2，得 　　(－b2－a1)(－b2－a2)＝－1， 　　即(a1＋b2)(a2＋b2)＝－1． 　　因此(a1＋b1)(a2＋b1)＝(a1＋b2)(a2＋b2)＝－1． 　　分析：用常规方法去做，繁琐、易错．仔细观察分析，发现已知条件的含义是二次方程(x＋b1)(x＋b2)＝1有两个不相等的实数根x1＝a1、x2＝a2，与(x－a1)(x－a2)＝0是同一个方程，于是有(x＋b1)(x＋b2)－1＝(x－a1)(x－a2)恒成立，配凑出这个恒等式，取特殊值x＝－b1，x＝－b2便能证得结果． 　　说明：巧妙构造恒等式进行配凑，使证明过程变得简明、快捷． 　　由以上各例可以看出：巧妙进行配凑常能找到解决问题的捷径．同学们解题遇到困难，甚至一筹莫展时，不妨根据题目特点进行配凑尝试，或许能得到意外的惊喜．