【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为M(1,0),直线y=x+m与该二次函数的图象交于A,B两点,其中A点的坐标为(3,4),B点在y轴上.P(a,0)是x轴上的一个动点,过P作x轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于D、E两点.
(1)求m的值及这个二次函数的解析式;
(2)若点P的横坐标为2,求△ODE的面积;
(3)当0<a<3时,求线段DE的最大值;
(4)若直线AB与抛物线的对称轴交点为N,问是否存在一点P,使以M、N、D、E为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.
【答案】(1)m=1,y=x2﹣2x+1;(2)S△ODE=2;(3)DE的最大值为;(4)满足题意的点P是存在的,坐标为(2,0)或(,0)或(,0).
【解析】
(1)直线y=x+m 经过点A(3,4),4=3+m,m=1,二次函数图象的顶点坐标为M(1,0),即可求解;
(2)把x=2代入y=x2-2x+1 得y=1,E(2,1),把x=2代入y=x+1得y=3,D(2,3),即可求解;
(3)由题意得D(a,a+1),E(a,a2-2a+1),DE=(a+1)-(a2-2a+1)=-(a)2+,即可求解;
(4)分两种情况:D点在E点的上方、D点在E点的下方,分别求解即可.
解:(1)∵直线y=x+m 经过点A(3,4),
∴4=3+m,
∴m=1,
∵二次函数图象的顶点坐标为M(1,0),
∴设y=a(x﹣1)2
∵抛物线经过A(3,4),
∴a=1,
∴y=x2﹣2x+1;
(2)把x=2代入y=x2﹣2x+1 得y=1,
∴E(2,1),
把x=2代入y=x+1得y=3,
∴D(2,3),
∴DE=3﹣1=2
∴S△ODE=2;
(3)由题意得D(a,a+1),E(a,a2﹣2a+1),
∴DE=(a+1)﹣(a2﹣2a+1)=﹣(a)2+,
∴当a=(属于0<a<3 范围)时,DE的最大值为;
(4)∵直线AB:y=x+1,N(1,2),
∴MN=2,
∵要使四边形为平行四边形只要DE=MN.
∴分两种情况:
①D点在E点的上方,则
DE=(a+1)﹣(a2﹣2a+1)=﹣a2+3a,
∴﹣a2+3a=2,
∴a=1(舍去)或a=2;
②D点在E点的下方,则 DE=a2﹣3a=2,
∴a=或;
综上所述,满足题意的点P是存在的,坐标为(2,0)或(,0)或(,0).
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【题目】下列说法正确的是( )
A.若某种游戏活动的中奖率是,则参加这种活动10次必有3次中奖
B.可能性很大的事件在一次试验中必然会发生
C.相等的圆心角所对的弧相等是随机事件
D.掷一枚图钉,落地后钉尖“朝上”和“朝下”的可能性相等
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【题目】为了解学生的艺术特长发展情况,某校决定围绕“在舞蹈、乐器、声乐、戏曲、其它活动项目中,你最喜欢哪一项活动(每人只限一项)”的问题,在全校范围内随机抽取部分学生进行问卷调查,并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图解答下列问题:
(1)扇形统计图中“戏曲”部分对应的扇形的圆心角为 度;
(2)若在“舞蹈、乐器、声乐、戏曲”项目中任选两项成立课外兴趣小组,请用列举法求恰好选中“舞蹈、声乐”这两项的概率.
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【题目】学生会要举办一个校园书画艺术展览会,为国庆献礼,小华和小刚准备将长AD为400cm,宽AB为130cm的矩形作品四周镶上彩色纸边装饰,如图所示,两人在设计时要求内外两个矩形相似,矩形作品面积是总面积的,他们一致认为上下彩色纸边要等宽,左右彩色纸边要等宽,这样效果最好,请你帮助他们设计彩色纸边宽度.
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【题目】在平面直角坐标系中,已知抛物线.
(1)求抛物线的对称轴;
(2)当时,设抛物线与轴交于两点(点在点左侧),顶点为,若为等边三角形,求的值;
(3)过(其中)且垂直轴的直线与抛物线交于两点.若对于满足条件的任意值,线段的长都不小于1,结合函数图象,直接写出的取值范围.
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【题目】某商场经营某种品牌的玩具,购进时的单价是30元,根据市场调查:在一段时间内,销售单价是40元时,销售量是600件,而销售单价每涨1元,就会少售出10件玩具.
(1)不妨设该种品牌玩具的销售单价为在40元的基础上上涨x(x>0),请你分别用x的代数式来表示销售量y件和销售该品牌玩具获得利润W(元),并把结果填写在表格中:
销售单价(元) | 40+x |
销售量y(件) |
|
销售玩具获得利润W(元) |
|
(2)在(1)问条件下,若商场获得10000元销售利润,则该玩具销售单价应定为多少元?
(3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?
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【题目】如图,已知AC是⊙O的直径,点B在圆周上(不与A、C重合),点D在AC的延长线上,连接BD交⊙O于点E,若∠AOB=3∠ADB,则( )
A. DE=EB B. DE=EB C. DE=DO D. DE=OB
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【题目】如图,一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A(m,6),B(3,n)两点.
(1)求一次函数的解析式;
(2)根据图象直接写出的x的取值范围;
(3)求△AOB的面积.
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【题目】某水果店以10元/千克的价格购进某种水果进行销售,经过市场调查获得部分数据如下表:
销售价格x(元/千克) | 10 | 13 | 16 | 19 | 22 |
日销售量y(千克) | 100 | 85 | 70 | 55 | 40 |
(1)请根据表中的数据,用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识刻画y与x之间的函数关系;
(2)该水果店应该如何确定这批水果的销售价格,才能使日销售利润最大?
(3)若该水果店平均每销售1千克这种水果会损耗a千克,当20≤x≤22时,水果店日获利的最大值为405元,求a的值.
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