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【题目】已知二次函数图象的顶点坐标为M10),直线yx+m与该二次函数的图象交于AB两点,其中A点的坐标为(34),B点在y轴上.Pa0)是x轴上的一个动点,过Px轴的垂线分别与直线AB和二次函数的图象交于DE两点.

1)求m的值及这个二次函数的解析式;

2)若点P的横坐标为2,求△ODE的面积;

3)当0a3时,求线段DE的最大值;

4)若直线AB与抛物线的对称轴交点为N,问是否存在一点P,使以MNDE为顶点的四边形是平行四边形?若存在,请求出此时P点的坐标;若不存在,请说明理由.

【答案】(1)m1yx22x+1;(2SODE2;(3DE的最大值为;(4)满足题意的点P是存在的,坐标为(20)或(0)或(0).

【解析】

1)直线y=x+m 经过点A34),4=3+mm=1,二次函数图象的顶点坐标为M10),即可求解;

2)把x=2代入y=x2-2x+1 y=1E21),把x=2代入y=x+1y=3D23),即可求解;

3)由题意得Daa+1),Eaa2-2a+1),DE=a+1-a2-2a+1=-a2+,即可求解;

4)分两种情况:D点在E点的上方、D点在E点的下方,分别求解即可.

解:(1)∵直线yx+m 经过点A34),

43+m

m1

∵二次函数图象的顶点坐标为M10),

∴设yax12

∵抛物线经过A34),

a1

yx22x+1

2)把x2代入yx22x+1 y1

E21),

x2代入yx+1y3

D23),

DE312

SODE2

3)由题意得Daa+1),Eaa22a+1),

DE=(a+1)﹣(a22a+1)=﹣(a2+

a(属于0a3 范围)时,DE的最大值为

4)∵直线AByx+1N12),

MN2

∵要使四边形为平行四边形只要DEMN

∴分两种情况:

D点在E点的上方,则

DE=(a+1)﹣(a22a+1)=﹣a2+3a

∴﹣a2+3a2

a1(舍去)或a2

D点在E点的下方,则 DEa23a2

a

综上所述,满足题意的点P是存在的,坐标为(20)或(0)或(0).

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销售单价(元)

40+x

销售量y(件)

   

销售玩具获得利润W(元)

   

2)在(1)问条件下,若商场获得10000元销售利润,则该玩具销售单价应定为多少元?

3)在(1)问条件下,若玩具厂规定该品牌玩具销售单价不低于44元,且商场要完成不少于540件的销售任务,求商场销售该品牌玩具获得的最大利润是多少?

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销售价格x(元/千克)

10

13

16

19

22

日销售量y(千克)

100

85

70

55

40

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