Question

6．在平面直角坐标系xOy中，⊙C的半径为r，P是与圆心C不重合的点，点P关于⊙C的限距点的定义如下：若P′为直线PC与⊙C的一个交点，满足r≤PP′≤2r，则称P′为点P关于⊙C的限距点，如图为点P及其关于⊙C的限距点P′的示意图．
（1）当⊙O的半径为1时．
①分别判断点M（3，4），N（$\frac{5}{2}$，0），T（1，$\sqrt{2}$）关于⊙O的限距点是否存在？若存在，求其坐标；
②点D的坐标为（2，0），DE，DF分别切⊙O于点E，点F，点P在△DEF的边上．若点P关于⊙O的限距点P′存在，求点P′的横坐标的取值范围；
（2）保持（1）中D，E，F三点不变，点P在△DEF的边上沿E→F→D→E的方向运动，⊙C的圆心C的坐标为（1，0），半径为r，请从下面两个问题中任选一个作答．

问题1	问题2
若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，则r的最小值为 $\frac{\sqrt{3}}{9}$．	若点P关于⊙C的限距点P′不存在，则r的取值范围为 0＜r＜$\frac{1}{6}$．

Answer 1

分析 （1）①根据限距点的定义即可判断．
②分三种情形：①当点P在线段EF上时，②当点P在线段DE、DF（不包括端点）上时，③当点P与点D重合时，分别说明即可解决问题．
（2）问题1：如图2中，△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，列出不等式即可解决．
问题2：如图2中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，列出不等式即可解决．

解答 解：（1）①点M、点T关于⊙O的限距点不存在，点N关于⊙0的限距点存在，坐标为（1，0）．
②∵点D坐标为（2，0），⊙O半径为1，DE、DF分别切⊙O于E、F，
∴切点坐标为（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），如图所示，不妨设点E（$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$），点F（$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），
EO、FO的延长线分别交⊙O于点E′、F′，则E′（-$\frac{1}{2}$，-$\frac{\sqrt{3}}{2}$），F′（-$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{3}}{2}$）．
设点P关于⊙O的限距点的横坐标为x，
①当点P在线段EF上时，直线PO与⊙O的交点P′满足1≤PP′≤2，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x满足-1≤x≤-$\frac{1}{2}$．
②当点P在线段DE、DF（不包括端点）上时，直线PO与⊙O的交点P′满足0＜PP′＜1或2＜PP′＜3，故点P关于⊙O的限距点不存在．
③当点P与点D重合时，直线PO与⊙O的交点P′（1，0），满足PP′=1，故点P关于⊙O的限距点存在，其横坐标x=1．
综上所述点P关于⊙O的限距点的横坐标x的范围为-1≤x≤-$\frac{1}{2}$或x=1．
（2）问题1：如图2中，∵△DEF是等边三角形，点C是△DEF的外接圆的圆心，
∵若点P关于⊙C的限距点P′存在，且P′随点P的运动所形成的路径长为πr，
∴图中△PP′C是等边三角形，点P在PP′上运动时，有限距点，
∵PC∥ED，
∴$\frac{PC}{ED}$=$\frac{CH}{HD}$=$\frac{1}{3}$，
∴PC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
由题意：r≤$\frac{\sqrt{3}}{3}$-r≤2r，
∴$\frac{\sqrt{3}}{9}$$≤r≤\frac{\sqrt{3}}{6}$，
∴r的最小值为$\frac{\sqrt{3}}{9}$．
问题2：如图2中，当点H不存在限距点时，点P就不存在限距点，
∵HC=$\frac{1}{2}$，
∴$\frac{1}{2}$-r＞2r，
∴r＜$\frac{1}{6}$，
∴0＜r＜$\frac{1}{6}$时点P的限距点不存在．
故答案分别为$\frac{\sqrt{3}}{9}$，0＜r＜$\frac{1}{6}$．

点评 本题考查圆综合题、切线的性质等知识，解题的关键是理解题意，把问题转化为不等式解决，属于中考创新题目．