已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$交于A.B两点.且点A的横坐标为4．(1)求k的值,(2)过原点O的另一条直线l交双曲线y=$\frac{k}{x}$于P.Q两点(P点在第一象限的点A的上方).若由点A.B.P.Q为顶点组成的四边形面积为24.求点P的坐标,(3)若P是双曲线y=$\frac{k}{x}$上一点.分别过P向x轴.y轴作垂线.垂足� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

10．

已知直线y=$\frac{1}{2}$x与双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）交于A、B两点，且点A的横坐标为4．
（1）求k的值；
（2）过原点O的另一条直线l交双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0）于P、Q两点（P点在第一象限的点A的上方），若由点A、B、P、Q为顶点组成的四边形面积为24，求点P的坐标；
（3）若P是双曲线y=$\frac{k}{x}$（k＞0，x＞0）上一点，分别过P向x轴，y轴作垂线，垂足分别为M，N，试问当P在何处时四边形PMON的周长最小，最小值为多少？

分析（1）待定系数法求解可得；
（2）作PM⊥x轴于点M，PN⊥x轴于点N．设P点的坐标为（a，$\frac{8}{a}$），根据正比例函数与反比例函数的对称性即可得出四边形APBQ为平行四边形，结合四边形面积为24以及三角形的面积公式即可得出关于a的一元二次方程，解方程即可得出a值，将其代入点P的坐标中即可得出结论；
（3）由（2）得出周长为2a+$\frac{16}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{16}{a}}$=8$\sqrt{2}$，且在2a=$\frac{16}{a}$，即a=±2$\sqrt{2}$时取得最小值，据此可得答案．

解答解：（1）在y=$\frac{1}{2}$x中x=4时，y=2，即点A（4，2），
将点A（4，2）代入y=$\frac{k}{x}$得：k=8；

（2）作PM⊥y轴于M，PN⊥x轴于N，AH⊥x轴于H，如图，设P点坐标为（a，$\frac{8}{a}$），

∵点A与点B关于原点对称，点P与点Q关于原点对称，
∴OA=OB，OP=OQ，
∴四边形APBQ为平行四边形，
∴S_△OPA=$\frac{1}{4}$S_{平行四边形APBQ}=$\frac{1}{4}$×24=6，
∵S_矩形ONPM+S_梯形AHNP=S_△OPM+S_△OPA+S_△OAH，
∴8+$\frac{1}{2}$（2+$\frac{8}{a}$）（4-a）=4+6+4，
整理得a²+6a-16=0，解得a₁=2，a₂=-8（舍去），
∴P点坐标为（2，4）．

（3）由（2）知四边形PMON的周长为2a+$\frac{16}{a}$≥2$\sqrt{2a•\frac{16}{a}}$=8$\sqrt{2}$，
且在2a=$\frac{16}{a}$，即a=±2$\sqrt{2}$时，周长取得最小值8$\sqrt{2}$，
∵点P在反比例函数第一象限分支上，
∴a=2$\sqrt{2}$，此时点P的坐标为（2$\sqrt{2}$，2$\sqrt{2}$）．

点评本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题、反比例函数图象上点的坐标特征以及平行四边形的判定，解题的关键是根据平行四边形的判定及割补法求面积得出关于a的方程、利用完全平方式的非负性得出最值是关键．

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科目：初中数学 来源： 题型：填空题

20．

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