Question

如图，⊙O是△ABC的内切圆，AB与⊙O切于点D，AC与⊙O切于点E，BO与DE交于点X，CO与DE交于点Y，点Z是BC的中点．
（1）求证：O、E、X、C四点共圆；
（2）若∠A=60°，求证：△XYZ是等边三角形．

Answer 1

分析：（1）结合图形，发现：只要能够证明∠EXO=∠ECO即可．根据三角形的内角和定理以及三角形的内心的定义即可证明；
（2）根据切线的性质，得XE⊥AC．根据（1）中的四点共圆，得∠OXC=∠OEC=90°，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得XZ=BZ；进而根据等边对等角和∠ABX=∠CBX，所以得∠ABX=∠BXZ，则XZ∥AB，所以得∠YXZ=∠ADE；根据切线长定理知AD=AE，则三角形ADE是等边三角形，则∠ADE=60°．同理∠ZYX=∠AED=60°．则可知三角形XYZ是等边三角形．

解答：证明：（1）根据三角形的内心是三角形的角平分线的交点以及三角形的内角和定理，得
∠ECO=

1

2

∠ACB，
设BX与AC的交点是F，则
∠EXO=180°-∠AED-∠EFX=180°-

1

2

（180°-∠A）-180°+

1

2

∠ABC+∠ACB=

1

2

∠ACB，
∴O、E、X、C四点共圆；

（2）证明：连接XC，由切线长定理得：AE=AD，
∵∠A=60°，
∴△ADE是等边三角形，
∴∠ADE=∠AED=60°，
∵由（1）得∠BXC=∠OEC=90°，XZ=BZ，
∴∠ZBX=∠ZXB=∠ABX，
∴XZ∥AB，
∴∠YXZ=∠ADE=60°，
同理YZ∥AC，则∠ZYX=∠AED=60°，
所以△XYZ是等边三角形．

点评：综合运用了切线长定理、三角形的内心的性质以及直角三角形的性质和等边三角形的判定和性质．