抛物线y=x2+bx+c与x轴交于A.B两点.B点坐标为(3.0).与y轴交于点C(1)求抛物线的解析式,(2)点P在抛物线位于第四象限的部分上运动.当四边形ABPC的面积最大时.求点P的坐标(3)直线l经过A.C两点.点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动.直线m经过点B和点Q.是否存在直线m.使得直线l.m与x轴围成的三角形和直线l.m与y轴围成的三角形相似?若存在.求出直线m� 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

20．

抛物线y=x²+bx+c与x轴交于A、B两点，B点坐标为（3，0），与y轴交于点C（0，-3）
（1）求抛物线的解析式；
（2）点P在抛物线位于第四象限的部分上运动，当四边形ABPC的面积最大时，求点P的坐标
（3）直线l经过A、C两点，点Q在抛物线位于y轴左侧的部分上运动，直线m经过点B和点Q，是否存在直线m，使得直线l、m与x轴围成的三角形和直线l、m与y轴围成的三角形相似？若存在，求出直线m的解析式，若不存在，请说明理由．

分析（1）利用待定系数法即可得出结论；
（2）先确定出点A的坐标，进而求出AB，再用三角形的面积公式求出三角形ABC的面积，最后求出PM，即可建立三角形PBC的面积的函数关系式，即可得出结论；
（3）先判断出∠ACO=∠OBN进而得出Rt△AON≌Rt△NOB即可确定出N点坐标为（0，-1），最后用待定系数法即可得出结论．

解答（1）把B、C两点坐标代入抛物线解析式可得$\left\{\begin{array}{l}{9+3b+c=0}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=-3}\end{array}\right.$，
∴抛物线解析式为y=x²-2x-3；

（2）如图1，连接BC，过Py轴的平行线，交BC于点M，交x轴于点H，
在y=x²-2x-3中，令y=0可得0=x²-2x-3，解得x=-1或x=3，
∴A点坐标为（-1，0），
∴AB=3-（-1）=4，且OC=3，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$AB×OC=$\frac{1}{2}$×4×3=6，
∵B（3，0），C（0，-3），
∴直线BC解析式为y=x-3，
设P点坐标为（x，x²-2x-3），
则M点坐标为（x，x-3），
∵P点在第四限，
∴PM=x-3-（x²-2x-3）=-x²+3x，
∴S_△PBC=$\frac{1}{2}$PM•OH+$\frac{1}{2}$PM•HB=$\frac{1}{2}$PM（OH+HB）=$\frac{1}{2}$PM•OB=$\frac{3}{2}$PM，
∴当PM有最大值时，△PBC的面积最大，则四边形ABPC的面积最大，
∵PM=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，
∴当x=$\frac{3}{2}$时，PM_max=$\frac{9}{4}$，则S△PBC=$\frac{3}{2}$×$\frac{9}{4}$=$\frac{27}{8}$，
此时P点坐标为（$\frac{3}{2}$，-$\frac{15}{4}$）

（3）如图2，设直线m交y轴于点N，交直线l于点G，

则∠AGP=∠GNC+∠GCN，
当△AGB和△NGC相似时，必有∠AGB=∠CGB，
又∠AGB+∠CGB=180°，
∴∠AGB=∠CGB=90°，
∴∠ACO=∠OBN，
在Rt△AON和Rt△NOB中，$\left\{\begin{array}{l}{∠AOC=∠NOB}\\{OC=OB}\\{∠ACO=∠NBO}\end{array}\right.$
∴Rt△AON≌Rt△NOB（ASA），
∴ON=OA=1，
∴N点坐标为（0，-1），
设直线m解析式为y=kx+d，把B、N两点坐标代入可得$\left\{\begin{array}{l}{3k+d=0}\\{d=-1}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{k=\frac{1}{3}}\\{d=-1}\end{array}\right.$，
∴直线m解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1，
即存在满足条件的直线m，其解析式为y=$\frac{1}{3}$x-1．

点评此题是二次函数综合题，主要考查了待定系数法，几何图形的面积的计算方法，全等三角形的判定和性质，解（2）的关键是得出PM=-x²+3x=-（x-$\frac{3}{2}$）²+$\frac{9}{4}$，解（3）的关键是求出点N的坐标，是一道中考常考题．

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10．

如图，将一副三角板如图放置，若AE∥BC，则∠FAD=（　　）

A．

25°

B．

20°

C．

15°

D．

10°

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11．在△ABC中，∠ACB=90°，以AB为斜边作等腰直角三角形ABD，且点D与点C在直线AB的两侧，连接CD．

（1）如图1，若∠ABC=30°，则∠CAD的度数为105°．
（2）已知AC=1，BC=3．
①依题意将图2补全；
②求CD的长；
小聪通过观察、实验、提出猜想，与同学们进行交流，通过讨论，形成了求CD长的几种想法：
想法1：延长CB，在CB延长线上截取BE=AC，连接DE．要求CD的长，需证明
△ACD≌△BED，△CDE为等腰直角三角形．
想法2：过点D作DH⊥BC于点H，DG⊥CA，交CA的延长线于点G，要求CD的长，需证明△BDH≌△ADG，△CHD为等腰直角三角形．
…
请参考上面的想法，帮助小聪求出CD的长（一种方法即可）．
（3）用等式表示线段AC，BC，CD之间的数量关系（直接写出即可）．

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8．