Question

6．二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），且当x=0和x=-2时所对应的函数值相等，二次函数图象与y轴交于C点，与x轴的另一个交点为B．
（1）求二次函数的表达式；
（2）设点M在第二象限，且在抛物线上，如果△MBC的面积最大，求此时点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数的图象具有对称性，由当x=0和x=-2时所对应的函数值相等，可以得到对称轴，由二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），从而可以求得二次函数的解析式；
（2）根据题意可以设出点M的坐标，可以表示出△MBC的面积，从而可以求得△MBC的面积的最大值，进而求得点M的坐标．

解答 解：（1）∵二次函数y=-x²+bx+c的图象与x轴交于A（1，0），且当x=0和x=-2时所对应的函数值相等，
∴抛物线的对称轴为直线x=$\frac{0+（-2）}{2}=-1$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{-1+b+c=0}\\{-\frac{b}{2×（-1）}=-1}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{b=-2}\\{c=3}\end{array}\right.$
即二次函数的表达式是；y=-x²-2x+3；
（2）∵y=-x²-2x+3=（x+3）（-x+1），
∴点B的坐标是（-3，0），点C的坐标是（0，3），
设过点B、C的直线解析式是y=kx+b，
$\left\{\begin{array}{l}{-3k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$
解得$\left\{\begin{array}{l}{k=1}\\{b=3}\end{array}\right.$
即过点B、C的直线的解析式是y=x+3，
设点M的坐标是（m，-m²-2m+3），
将x=m代入y=x+3得，y=m+3，
∴${S}_{△MBC}=\frac{[（-{m}^{2}-2m+3）-（m+3）]×[0-（-3）]}{2}$=$-\frac{3}{2}（m+\frac{3}{2}）^{2}+\frac{27}{8}$，
∴当m=-$\frac{3}{2}$时，△MBC取得最大值，
∴点M的坐标是（$-\frac{3}{2}$，$\frac{15}{4}$）．

点评 本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的最值、用待定系数法求二次函数的解析式，解题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答问题．