Question

【题目】等边三角形ABC中，∠BPC＝150°，BP＝3，PC＝4，M、N分别为AB，AC上两点，且AM＝AN，则PM+PN的最小值为__．

Answer 1

【答案】5．

【解析】

如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．得到△PCE是等边三角形，根据勾股定理得到PA= =5，如图2中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．得到△PAF是等边三角形，PM=NF，于是得到结论．

如图1中，将△BCP绕点C顺时针旋转60°得到△ACE．

则△PCE是等边三角形，∠AEC＝∠BPC＝150°，∠PEC＝60°，

∴∠AEP＝90°，

∵AE＝BP＝3，PC＝PE＝4，

∴PA＝＝5，

如图2中，如图1中，将△APM绕点A逆时针旋转60°得到△AFN．

则△PAF是等边三角形，PM＝NF，

∴PF＝AP＝5，

∵PM+PN＝NF+NP≥PF，

∴PM+PN≥5，

∴PM+PN的最小值为5，

故答案为：5．