Question

如图1，点A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函数y=

k

x

的图象上，正比例函数y=nx的图象交反比例函数图象于A、C两点．
（1）求出k值和线段AC的长．
（2）在y轴上是否存在点D，使∠ADC=90°？若存在，求点D的坐标；若不存在，说明理由．
（3）如图2，若E（-4，3），点P是线段AC上的一个动点，试判断

50-CP•AP

EP2

的值是否发生变化？若不变，求出其值；若变化，说明理由．

Answer 1

（1）∵点A（m，m+1）、B（m+3，m-1）均在反比例函数y=

k

x

的图象上，
∴m（m+1）=（m+3）（m-1），
∴解得：m=3．
∴A（3，4）、B（6，2）．
∴k=m（m+1）=12；
如图1，过A作AM⊥x轴于M，
则OM=3，AM=4，
∴AO=5．
根据反比例函数的对称性，AC=2AO=10；

（2）如图1，在y轴的正半轴上取OD=OA=5，连接AD、CD．
则OD=OA=OC．
则∠OCD=∠ODC，∠OAD=∠ODA．
在△ACD中，有∠ACD+∠ADC+∠CAD=180°．
即∠OCD+∠ODC+∠OAD+∠ODA=180°．
∴∠ODC+∠ODA=90°，
即∠ADC=90°．
∴D（0，5）．
同理在y轴负半轴上还有点：D′（0，-5）．

另法：如图1，设OD=t，由AD²+CD²=AC²，
AE²+ED²+FD²+CF²=AC²，
3²+（t-4）²+3²+（t+4）²=10²，
解得：t=±5．
则D（0，5）或D′（0，-5）．

（3）

50-CP•AP

EP2

的值不发生变化，理由为：
如图2，连EO，过E作EN⊥x轴于N，过A作AM⊥x轴于M．
∵E（-4，3），A（3，4），
∴EO=OA=5，EN=OM=3，NO=AM=4，
在△ENO和△OMA中，
∵

EO=AO EN=OM NO=AM

，
∴△ENO≌△OMA（SSS），
∴∠EON=∠OAM，
∴∠EON+∠AOM=∠OAM+∠AOM=90°，
∴∠EOA=90°，
设CP=t，则AP=10-t，
CP•AP=t（10-t）=10t-t²，
而EP²=OP²+EO²=（5-t）²+5²=50-10t+t²．
∴50-CP•AP=50-（10t-t²）=50-10t+t²．
∴50-CP•AP=EP²，
∴

50-CP•AP

EP2

=1，
即

50-CP•AP

EP2

的值不发生变化，其值恒为1．