Question

（2013•玄武区二模）已知二次函数y=x²+bx+c图象的顶点坐标为（1，-4），与y轴交点为A．
（1）求该二次函数的关系式及点A坐标；
（2）将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是

y=-x²+2x+3

；
（3）若坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在该二次函数图象上，求m+n的值．
（4）若该二次函数与x轴负半轴交于点B，C为函数图象上的一点，D为x轴上一点，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，请直接写出该平行四边形的面积．

Answer 1

分析：（1）由y=x²+bx+c的二次项系数为1，顶点坐标为（1，-4），得出该二次函数的顶点式为y=（x-1）²-4，展开得到二次函数的关系式为y=x²-2x-3，再令x=0，求出y=-3，得到与y轴交点A的坐标；
（2）先求出y=x²-2x-3的顶点坐标（1，-4）沿x轴翻折后的顶点坐标为（1，4），再由二次项系数互为相反数
得出新抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，展开即可求解；
（3）先将（m，n）、（n，m）两点的坐标分别代入y=x²-2x-3，得到n=m²-2m-3①，m=n²-2n-3②，再用①-②，整理得出m²-n²-m+n=0，即（m-n）（m+n-1）=0，由m≠n，求出m+n=1；
（4）先由y=x²-2x-3，求出B点坐标为（-1，0）．当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况进行讨论：①如果BD为平行四边形的边，那么根据平行四边形的性质得出BD∥AC，且BD=AC，则A、C关于二次函数y=x²-2x-3的对称轴x=1对称，得到AC=2，进而根据平行四边形的面积公式得到S_?ABDC=AC•OA，代入数值，即可求解；②如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设BD与AC交于点P，由P在x轴上，其纵坐标为0，得出C点纵坐标为3，再由C为函数图象上的一点，把y=3代入y=x²-2x-3，求出x的值，得到P点坐标为（

1+ 7

2

，0），则BD=2BP=3+

7

，然后根据S_?ABCD=S_△ABD+S_△CBD，将数值代入即可求解．

解答：解：（1）∵二次函数y=x²+bx+c图象的顶点坐标为（1，-4），
∴该二次函数的顶点式为y=（x-1）²-4，即y=x²-2x-3，
当x=0时，y=-3，
∴与y轴交点A的坐标为（0，-3）；

（2）∵y=x²-2x-3的顶点坐标为（1，-4），
∴沿x轴翻折后二次函数图象顶点坐标为（1，4），
∴新抛物线的解析式为y=-（x-1）²+4，
即将该二次函数的图象沿x轴翻折后对应的函数关系式是y=-x²+2x+3；

（3）∵坐标分别为（m，n）、（n，m）的两个不重合的点均在二次函数y=x²-2x-3的图象上，
∴n=m²-2m-3①，m=n²-2n-3②，
①-②，得n-m=（m²-2m-3）-（n²-2n-3），
整理，得m²-n²-m+n=0，
∴（m-n）（m+n-1）=0，
∵m≠n，∴m-n≠0，
∴m+n=1；

（4）∵y=x²-2x-3，
∴当y=0时，x²-2x-3=0，
解得x=-1或3，
∴B点坐标为（-1，0）．
当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，分两种情况，如图：
①如果BD为平行四边形的边，那么BD∥AC，且BD=AC，
∴AC∥x轴，A、C关于二次函数y=x²-2x-3的对称轴x=1对称，
∵A点坐标为（0，-3），
∴C点坐标为（2，-3），AC=2，
∴S_?ABDC=AC•OA=2×3=6；
②如果BD为平行四边形的对角线，那么BD与AC互相平分，设BD与AC交于点P．
∵P为BD中点，BD在x轴上，
∴P在x轴上，其纵坐标为0，
∵P为AC中点，A点坐标为（0，-3），
∴C点纵坐标为3，
把y=3代入y=x²-2x-3，得3=x²-2x-3，
解得x₁=1+

7

，x₂=1-

7

（不合题意舍去），
∴C点坐标为（1+

7

，3），P点坐标为（

1+ 7

2

，0），
∴BD=2BP=2×（

1+ 7

2

+1）=3+

7

，
∴S_?ABCD=S_△ABD+S_△CBD=2S_△ABD=

1

2

×（3+

7

）×3×2=9+3

7

；
综上可知，当以A、B、C、D为顶点的四边形是平行四边形时，该平行四边形的面积为6或9+3

7

．

点评：本题是二次函数的综合题，其中涉及到二次函数解析式的确定，轴对称的性质，二次函数的图象与性质，平行四边形的性质，综合性较强，难度适中．利用数形结合、分类讨论是解题的关键．